Resumen de los temas del Grupo I

Resumen 3.1 al 3.7

Luis Rafael Martínez Nina
BI-9529

Extremos en un intervalo

Definición
Sea f definida sobre un intervalo I que contiene a c.
1. f(c) es el mínimo de f en I si f(c)≤ f(x) para toda x en I
2. f(c) es el máximo de f en I si f(c)≥f(x) para toda x en I.
los mínimos y máximo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente
extremos, de la función en elintervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo
también reciben el nombre de mínimo absoluto y máximo absoluto en el intervalo.

Teorema del valor extremo
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tienen tanto un mínimo como un máximo
en el intervalo.
Definición de extremos relativos
1- si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un máximo, entoncesf(c)
recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo
relativo en (c, f(c)).
2- Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un mínimo relativo
entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un
mínimo relativo en (c, f(c)).

Ejemplo:
Encontrar el valor de la derivada en cada uno de los extremosrelativos que se ilustran en la
figura.

Punto Critico
Sea f definida en c. si f´(c) = 0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico de f.

Teorema de los extremos relativos ocurren solo en números o puntos críticos
si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x = c, entonces c es un punto crítico de f.
caso 1.
Si f no es derivable en x=c, entonces, por definición, c es un puntocrítico de f y el teorema es
válido.
Caso2.
Si f es derivable en x=c, entonces f´(c) debe ser positiva o 0. Suponer que f´(c) es positiva.
Entonces

Lo cual implica que existe un intervalo (a, b) que contiene a c de modo tal que

Estrategias para la determinación de extremos en un intervalo cerrado
Para determinar los extremos de una función continua ƒ en un intervalo cerrado [a, b], se siguenestos pasos.
1. Se encuentran los puntos críticos de ƒ en (a, b).
2. Se evalúa ƒ en cada punto crítico en (a, b).
3. Se evalúa ƒ en cada punto extremo de [a, b].
4. El más pequeño de estos valores es el mínimo. El más grande es el máximo.
Determinación de los extremos en un intervalo cerrado
Determinar los extremos de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 4 en el intervalo [ 1, 2].3

Solución se empieza derivando lafunción
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 4𝑥 3
𝑓´(𝑥) = 12𝑥 3 − 12𝑥 2
Para determinar los puntos críticos de f, se necesitan encontrar los valores de para todos los
cuales f´(x) = 0 y todos los valores de x para los cuales f´(x) no existe.
𝑓´(𝑥) = 12𝑥 3 − 12𝑥 2 = 0
12𝑥 2 (𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 0,1
Debido a que ƒ´ se define para todo x, es posible concluir que estos números son los únicos
puntos críticos de ƒ. Al evaluar ƒ en estosdos puntos críticos y en los puntos extremos de [ -1,
2], es posible determinar que el máximo es ƒ(2) = 16 y el mínimo corresponde a ƒ(1) = - 1, como
se muestra en la siguiente tabla.
Punto terminal
izquierdo
f(-1) = 7

Punto critico

Punto critico

f(0)=0

f(1)= 1 Mínimo

Punto terminal
derecho
f(2)= 16 máximo

Teorema De Rolle
Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b). Si
ƒ(a) = ƒ(b)
entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ'(c) _ 0.

Demostración
Caso 1: Si ƒ(x) = d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2, ƒ´(x)
= 0 para todo x en (a, b).
Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe
que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo.Además, como ƒ(c)> d, este máximo no
puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el intervalo abierto (a,
b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2, c es un número crítico de f.
Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que
ƒ´(c) =0.
Caso 3: Si ƒ(x)< d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso...