RESUMEN EDO

Prueba 2 “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”

VARIACIÓN DE PARÁMETROS: (para EDO no homogeneas)
yp = u*y1 + v*y2
u = - ∫ (y2*r)/(w(y1 y2))
v = ∫ (y1*r)/(w(y1 y2))
Esto se aplica a la ec.:
y’’ +p*y’ + q*y = r
y(x0) = Ω , Ω un real
y’(x0) = ß , ß un real
Siendo la solución: y = yh + yp

COEFICIENTES INDETERMINADOS: Se aplica para encontrar la sol. Particular.
La ec.: y’’ + y’*a + y*b= r

Tabla:
r(x): yp(x): .
p(x) = a0 + a1*x + … + an *xn p(x) = A0 + A1*x + … + An *xn
sen (ax) A*sen(ax) +B*con(ax)
cos (ax) A*sen(ax) + B*con(ax)
p(x)*eax p(x)*eax
eax A*eax
p(x)*sen(x) p(x)*sen(ax) + q(x)*con(ax)
p(x)*cos(x) p(x)*sen(ax) + q(x)*con(ax)
p(x)*sen(x)*ebx p(x)*sen(ax)*ebx+ q(x)*con(ax)*ebx
p(x)*cos(x)* ebx p(x)*sen(ax)*ebx + q(x)*con(ax)*ebx

RESONANCIA:
Cuando la solución propuesta es solución de la ec. homogénea asociada, existe resonancia. Para evitar esto, si:y(x) es la sol. Propuesta por la tabla y sol. De la ec. homogénea. Vamos a considerar como sol. Propuesta x*y(x).

ECUACIÓN DE EULER:
Son de la forma:
an*xn*yn + an-1*xn-1*yn-1 + … + a1*x*y’ + a0*y =r(x)
o también se puede ver como:
an(xn + bn)*yn + an-1(xn-1 + bn-1)*yn-1 + … + a1(x + b1)*y’ + a0*y = r(x)

Se usa el “cambio de variable”: x = et

Y se define: z(t) = y(x) ^ z(t) =y(x(t))



TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE:
Función de orden exponencial:
Se dice f exponencial si: |f(x)| ≤ M* ecx, para todo x > x0

Transformada:
Sea f de orden exponencial e integrable en todo punto:L[f](a) = ∫ (0,∞+) e-ax f(x) dx

Propiedades:
i) Lineabilidad: L[f+ a*g](x) = L[f](x) + a*L[g](x)
ii) Comportamiento Asintótico: |L[f](s)| ≤ M/(2-c)
iii) Invertibilidad: L[f] = L[g] implica f = g (salvo enpuntos discontinuos)

Transformadas claves:
L[f(t)]= ∫ (0, ∞+) e-st f(t) dt
L[f’(t)] = sL[f(t)] – f(0)
L[f’’(t)] = s2L[f(t)] – sf(0) – f’(0)
L[f](2) = c/2 ; f(x) = c
L[f](2) = 1/(2-k) ; f(x) = eax...