Resumen psu matematicas

UNIVERSIDAD DE CHILE PREUNIVERSITARIO JOSE CARRASCO TAPIA

RESUMEN PSU MATEMÁTICA 2008
1.
a.

Números y proporcionalidad.
Conjuntos fundamentales Enteros Z = {...,-2,-1,0,1,2,..} Naturales IN = {1,2,3,4,…} Racionales Q todo número que pueda escribirse como fracción Irracionales I: número decimal que no es fracción

•

• •

Cardinales IN0 = {0,1,2,…} Imaginarios i: raíces negativas.Ej: i = − 1 Reales IR Complejos C: combinaciones de reales con imaginarios Se ocupa la letra n para referirse a números naturales Ejemplos: El sucesor de n es n+1. 2n siempre es par. 2n-1 siempre es impar Se ocupa la letra x para referirse a números reales. Recordar el orden de operaciones: Paréntesis -> Potencias -> Multiplicación y división -> Adición y sustracción Relación de orden entrefracciones:

b. • • •

c. •

• •

3 1 > ya que 3·2 = 6 > 1·4 = 4 4 2 3 1 Nota : muchas veces es más sencillo dividir = 0,75 > = 0,5 4 2 Construcción de decimales no periódicos, periódicos y semiperiódicos a fracciones. Decimales periódicos 2,548 = 2548 0,57 = 57 # de decimales = # de 0’s del denominador 1000 100 ____________ _____ 7 123 # de decimales distintos = # de 9’s Decimales periódicos 0,7 = 0,123123... = 0, 123 = 9 999 Decimales semiperiódicos __ 12 − 1 11 105 − 10 95 1234 − 12 1222 = = = 0 ,1 2 = 1, 0 5 = 0 ,12 34 = 90 90 90 90 9900 9900 Proporcionalidad. Proporcionalidad directa: X e Y directamente proporcionales si hay una constante k que las relaciona X = kY Es decir, cuando X aumenta o disminuye, Y también lo hace. Proporcionalidad indirecta: La relación es X·Y=k, es decir,si aumenta X, disminuye Y, y viceversa. Proporcionalidad compuesta: 5 operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 14 operarios en 9 días? Se analiza el tipo de proporcionalidad entre cada variable con la incógnita (unidades). Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días también. Notar que operarios y díasson indirectamente proporcionales. Entonces la relación queda: Ejemplo :

a c > ⇔ ad > cd b d

5 · x · 7 = 14 · 400 · 9 ⇒ x =
d. Porcentaje e interés.

14 · 400 · 9 ⇒ x = 1440 5 ·7

x %=

x 100

x ·A 100 Interés simple T = C (1 + n·i ) el x % de A =

y x · ·A 100 100 Interés compuesto T = C (1 + i ) n el y % del x % de A =

T : Dinero total C : Capital inicial

i : in terés (enforma decimal )

n : número de meses

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2.
a. •

Álgebra
Operatoria. Reglas de divisibilidad importantes: o Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, es divisible por 3. 123555 -> 1+2+3+5+5+5=21 -> Es divisible por 3 ( 3 · 41185 = 123555) o Si un número es divisible por 2 y 3 a la vez, es divisible por 6 254616 -> Espar y 2+5+4+6+1+6=24 -> Es divisible por 3 ->Es divisible por 6 (6 · 42436 = 254616) o Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 9, es divisible por 9. 25461 -> 2+5+4+6+1 = 18 -> Es divisible por 9 ( 9 · 2829 = 25461) Productos notables.

•

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a − b )(a 2 + ab+ b 2 ) = a 3 − b 3
• Potencias.

a0 = 1 a1 / 2 = 2 a = a
•

a1 = a

a2/3 = 3 a2

a·a = a 2 1 a −2 = 2 a

a 5 ÷ a 2 = a 5−2 = a 3 a 3 ·b 3 = (a·b ) 1 a 1 a
3

a 5 ÷ a −2 = a 5−( −2 ) = a 7

a 2 a 3 = a 2+3 = a 5 a a 1 1+ a 1

(a )
·

2 3

= a 2·3 = a 6 1− a 1− a

Raíces y racionalización

a1 / n = n a
• Logaritmos

n

an = a

a·b = a · b

=

·

a a

==

1− a

1+ a 1− a

=

log a (b) = m ⇔ a m = b a log( ) = log(a ) − log(b) b
b.

log a (1) = 0

log a (a) = 1

log(a·b) = log(a) + log(b) log10 (b) 1 log(a ) log a b = n log10 (a )

log(a b ) = b log(a ) log(n a ) = log(a1/ n ) =

Sistemas de inecuaciones lineales sencillas.

•

4x −1 ≥ 5 x −3< 5 4x −1 ≤ 5 x −3> 5

⇒ x ≥1

•

x∈ [ 1 , 8 [ ⇒ x 8
→ x 1 x + 1 > −2 → x...