robin hoof

Cap´ıtulo 4

El proceso de Poisson

Estudiaremos en ´este y en el siguiente cap´ıtulo el modelo de cadena de Markov a
tiempo continuo. Como una introducci´on a la teor´ıa general que se expondr´a m´as
adelante, en el presente cap´ıtulo estudiaremos uno de los ejemplos m´as importantes
de este tipo de modelos: el proceso de Poisson. Definiremos este proceso de varias
formas equivalentes, yestudiaremos algunas de sus propiedades y generalizaciones.
El proceso de Poisson es un modelo relevante tanto en las aplicaciones como en la
teor´ıa general de los procesos estoc´asticos.

4.1.

Proceso de Poisson

Suponga que un cierto evento ocurre repetidas veces de manera aleatoria a lo largo
× × ×
×
del tiempo como se muestra en la Figu0
ra 4.1. Tal evento puede ser por ejemplola llegada de una reclamaci´
on a una comFigura 4.1:
pa˜
n´ıa aseguradora, o la recepci´on de una
llamada a un conmutador, o la llegada de un cliente a una ventanilla para solicitar
alg´
un servicio, o los momentos en que una cierta maquinaria requiere reparaci´on,
etc´etera. Suponga que las variables aleatorias T1 , T2 . . . representan los tiempos
que transcurren entre una ocurrenciadel evento y la siguiente ocurrencia. Suponga
que estos tiempos son independientes uno del otro, y que cada uno de ellos tiene
distribuci´
on exp(λ). Se define el proceso de Poisson al tiempo t como el n´
umero
97

98

4.1. Proceso de Poisson

de ocurrencias del evento que se han observado hasta ese instante t. Esta es una
definici´on constructiva de este proceso y la formalizaremos acontinuaci´on. M´as
adelante enunciaremos otras definiciones axiom´aticas equivalentes de este mismo
proceso.
Definici´
on. (I) Sea T1 , T2 , . . . una sucesi´on de variables aleatorias independientes cada una con distribuci´on exp(λ). El proceso de Poisson de par´ametro
λ es el proceso a tiempo continuo {Xt : t ≥ 0} definido de la siguiente manera:
Xt = m´ax {n ≥ 1 : T1 + · · · + Tn ≤ t}.Se postula adem´as que el proceso inicia en cero y para ello se define m´ax ∅ = 0.
En palabras, la variable Xt es el entero n m´aximo tal que T1 + · · · + Tn es menor o
igual a t, y ello equivale a contar el n´
umero de eventos ocurridos hasta el tiempo t.
A este proceso se le llama proceso de Poisson homog´eneo, tal adjetivo se refiere a
que el par´ametro λ no cambia con el tiempo, esdecir, es homog´eneo en el tiempo.
Una trayectoria t´ıpica de este proceXt (ω)
so puede observarse en la Figura 4.2,
la cual es no decreciente, constante 3
por pedazos, continua por la derecha
y con l´ımite por la izquierda. A los 2
tiempos T1 , T2 , . . . se les llama tiem- 1
pos de estancia, o tiempos de interarribo, y corresponden a los tiempos
t
W1
W2
W3
que transcurren entre un saltodel
0
proceso y el siguiente salto. Hemos
T1
T2
T3
T4
supuesto que estos tiempos son independientes y que todos tienen disFigura 4.2:
tribuci´on exp(λ). En consecuencia, la
variable Wn = T1 + · · ·+ Tn tiene distribuci´on gama(n, λ). Esta variable representa el tiempo real en el que se observa la
ocurrencia del n-´esimo evento. Observe la igualdad de eventos (Xt ≥ n) = (Wn ≤
t), estoequivale a decir que al tiempo t han ocurrido por lo menos n eventos si, y
s´olo si, el n-´esimo evento ocurri´o antes de t.
Una de las caracter´ısticas sobresalientes de este proceso es que puede encontrarse

Cap´ıtulo 4. El proceso de Poisson

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expl´ıcitamente la distribuci´on de probabilidad de la variable Xt para cualquier
valor de t. La respuesta es la distribuci´on Poisson, y es deall´ı de donde el proceso
adquiere su nombre.
Proposici´
on. La variable Xt tiene distribuci´on Poisson(λt), es decir, para
cualquier t > 0, y para n = 0, 1, . . .
P (Xt = n) = e−λt

(λt)n
.
n!

Demostraci´
on. Como Wn tiene distribuci´on gama(n, λ), su funci´on de distribuci´on
es, para t > 0,
n−1
(λt)k
−λt
P (Wn ≤ t) = 1 − e
.
k!
k=0

Entonces para cualquier t > 0 y para...