Rudo comeca

la Serie de Fourier
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma

que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultadosiniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.
Definición de la serie de Fourier
Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posibledeterminar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:


Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuaciónes cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras, (1)
En la que (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
El conjunto de funciones
(1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serietrigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Al despejar se obtiene
(4)
Ahoramultipliquemos la ecuación (2) por e integremos:
(5)
por la ortogonalidad tenemos que


y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así (6)
Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados



llegamos a (7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Series de Fourier de cosenos y de senos
Sifes una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en


.
En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
, n=0,1,2,...,
Resumen de las constantes de la series de Fourier
a. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

en que

b) La serie deFourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

en donde
Serie de Fourier en forma compleja


Cálculo de Cn:


Ejemplo:
Calcular la serie compleja de fourier para :

f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s






Aplicaciones de la Serie de Fourier
Ejemplo 1:
Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal

la serie de fourier tiene elsiguiente aspecto

a0 / 2 ® valor medio
a1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourier
w 0 ... ® frecuencia (2•p /T)
n • w 0 ... ® harmónicos

Ejemplo 2:




f(t)=2•sen t – sen(2•t) + (2/3)•sen (3•t) - 1/2•sen (4•t) +2/5 sen (5•t)+....

la Transformada de Laplace
En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida paratodos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más...