S03 C09

Semana 3 - Clase 9

Tema 1: Series

Series de Fourier, continuaci´
on
1.

Condiciones de Dirichlet

Las condiciones que una determinada funci´on f (x) debe cumplir para poder ser representada
como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones de Dirichlet1 las cuales pueden
ser esquematizadas en los siguientes puntos. Para que una funci´on f (x) sea susceptible de ser
expandida enseries de Fourier debe ser:
peri´odica
univaluada y cont´ınua a trozos (cont´ınua menos, en un n´
umero finito de puntos) con un
n´
umero finito de m´
aximos y m´ınimos
T /2

la integral −T /2 dx|f (x)| debe ser convergente. Donde [−T /2, T /2] quiere indicar el intervalo
de definici´
on de una funci´
on con per´ıodo T .
Podemos formalizar un poco m´
as las condiciones de Dirichlet en el llamadoTeorema de Fourier.
Teorema de Fourier Sea f (x) una funci´on en el intervalo −π ≤ x ≤ π y definida para el resto
de la recta real tal que cumpla con f (x + 2π) = f (x). Es decir f (x) es 2π−peri´odica. Supongamos
adem´as que existe
π

dx f (x) ,
−π

1
con lo cual C˜k =
2π

π

dx e−ikx f (x)

con k = 0, ±1, ±2, · · · .

−π

y si |f (x)| est´
a acotada para un intervalo [a, b] con −π < a ≤ x ≤ b <π, entonces
∞

C˜k e−ikx

F (x) =

es convergente al valor F (x) =

k=−∞

1
2

l´ım f (x + ) + l´ım f (x − )

→0+

→0−

y si f (x) es cont´ınua en x = x0 entonces F (x0 ) → f (x0 ).
En este punto se pueden puntualizar varias cosas:
1. El valor F (x) = 21 l´ım →0+ f (x + ) + l´ım →0+ f (x − ) al cual converge la expansi´
on de
Fourier, cobra particular importancia cuando el punto x = x0 es unadiscontinuidad. Tal
y como veremos m´
as adelante (secci´on 3.1) y expresa este teorema, las series de Fourier
son particularmente apropiadas para expandir funciones discont´ınuas (en un n´
umero finito
de puntos en el intervalo), sin embargo, por ser una base de funciones cont´ınuas no puede
reproducir la discontinuidad como tal. La expansi´on de Fourier alrededor de un punto de
(x−0 )
.discontinuidad x → x±0 tender´
a al valor F (x) → F (x±0 ) ≡ Fm donde Fm = F (x+0 )+F
2
Es decir, tender´
a al valor medio de los valores de la discontinuidad por la izquierda F (x−0 ) y
por la derecha F (x+0 ).
1

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 - 1859 Matem´
atico Alem´
an con importantes contribuciones
en Teor´ıas de n´
umeros Algebr´
aica, Series y aproximaciones de funciones y ecuacionesdiferenciales parciales

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez

1

Universidad de Los Andes, M´erida

Semana 3 - Clase 9

Tema 1: Series

2. Si los coeficientes de Fourier tienen variaciones acotadas en el intervalo y |C˜k | → 0 con k → ∞.
Entonces
∞

|C˜k |2 =
k=−∞

π

1
2π

dx |f (x)|2

⇔

−π

1 2
a +
2 0

∞

|a2n + b2n | =
n=1

1
π

π

dx |f (x)|2
−π

que no es otra cosa que la expresi´on de lacompletitud de esta base de funciones.

2.

Algunos ejemplos de expansiones en series de Fourier

Para ilustrar esta relaci´
on entre la funci´on f (x) y su expansi´on en serie de Fourier F (x) analicemos algunos ejemplos t´ıpicos

2.1.

Ondas Cuadradas

Para empezar, el caso de una funci´
on muy conocida en el ´ambito de los circuitos el´ectrico. Una
onda cuadrada

 −1 si − 12 T ≤ t < 0
f (t) =

+1si 0 ≤ t ≤ 12 T ,
En este caso se puede integrar entre [0, T /2] y luego multiplicar todo por 2.
a0 =
an =
bn =

2
T
2
T
2
T

T
2

dt = 1 ,

0
T
2

cos

2πnt
T

dt =

sen (nπ)
= 0,
nπ

sen

2πnt
T

dt =

1 − cos (nπ)
1 − (−1)n
=
,
nπ
nπ

0
T
2

0

Entonces solo sobreviven los b2n+1 ya que coeficientes pares se anulan: b2n = 0.
∞

f (t) = a0 + 2

bn sen
n=1

2πnt
T

=1+

4
π

senωt +

sen3ωtsen5ωt sen7ωt
+
+
+ ···
3
5
7

donde hemos denotado ω = 2π/T . Al definir la funci´on ω podemos interpretar los coeficientes de
Fourier an , bn como las contribuciones de cada uno de los arm´onicos an , bn → ωn = 2nπ
T . A partir de
estas contribuciones se construye el espectro de potencia, el cual est´a relacionado con la energ´ıa que
aporta cada uno de estos arm´
onicos. Por ello construimos un...