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1. La Hipérbola

Definición.- Una hipérbola es el lugar geométrico de los P( x ; y ) cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos) es constante.























Ecuación Canónica de la Hipérbola
La ecuación canónica de la hipérbola cuando los focos están situados en el eje Ox y se tiene:
|PF| - |PF’| = |2a|corresponde a:
a es el semieje mayor, además AA’ es el eje transverso
b es el semieje menor o eje normal.
focos F(c,0) ; F’(-c,0)
vértices A,A’,B,B’
B y B’ son los cortes de la circunferencia con centro en A y radio c. Obteniéndose la relación :
Asíntotas: Las ramas de la hipérbola se aproximan a las rectas: y = .
Longitud del lado recto: ; excentricidad:
EJEMPLO:
Halla el eje mayor, el ejemenor, los vértices y los focos de la hipérbola :
Resolución.
De la ecuación:
Se tiene:
Eje mayor 2a = 2.5 = 10
Eje menor 2b = 2.4 = 8
Vértices A(5,0); A’(-5,0); B(0,4); B’(0,-4)
Los focos: como , donde :

Ecuación General de la Hipérbola

La ecuación de la hipérbola cuando el centro está en el punto C(h , k) y el eje focal paralelo al eje X es:
, donde susasíntotas son:

La ecuación de la hipérbola cuando el centro está en el punto C(h , k) y el eje focal paralelo al eje Y es:
, donde sus asíntotas son:


2. La Parábola

Definición.- Una parábola es el lugar geométrico de los P(x , y) que equidistan de una recta fija (directriz) y de un punto fijo F (foco).
















Ecuación Canónica de la Parábola

Laecuación canónica de una parábola cuando el foco está en el eje Ox y directriz corresponde a:



Elementos de la Parábola

Recta VF es el eje
Foco F
El vértice es
Directriz

Longitud de lado recto: 4│ p │
Excentricidad: 1


Ecuación General de la Parábola
Definición.- Si trasladamos una parábola al vértice V(h , k) su ecuación es:




EJERCICIOS PROPUESTOS1. Halla los ejes (mayor y menor), los vértices y los focos de la hipérbola
2. Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de cada una de las siguientes parábolas:



3. Representa las siguientes cónicas, clasifícalas y determina sus elementos.


a)
b) y=x2-5x+6
c)
d)
e) x2+4y2=4.
f)
g)
h)
i) ,
j)
k) 4y2-x2=4.
l)
m)
n)
o)4. Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(3,-1) y su foco es F(3,-4).
5. Hallar la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(0;-3), pasa por el origen de coordenadas, y su eje focal coincide con el eje Y.
6. El lado recto de una parábola, con el eje focal paralelo al eje X mide 8 unidades. Hallar las ecuaciones de todas las parábolas, tales que para cada una deellas los extremos de su lado recto están sobre las rectas L1: x – y + 1 = 0 y L2: x + 2y - 4 = 0
7. Hallar la ecuación de la parábola con vértices de abscisa positiva, que pasa por los puntos A(7;8) y B(7;-12) y tiene como directriz a la recta x= -3.
8. Determinar la ecuación de la parábola con foco sobre la recta 2x + y – 1 = 0, su vértice sobre la recta x – y + 3 = 0, en tanto quesu directriz es la recta x = - 4.
9. Suponga que el cable de un puente colgante pende en forma de parábola cuando el peso se distribuye uniformemente en forma horizontal. La distancia entre dos torres es 150 metros, los puntos de soporte del cable en las torres se hallan a 22 metros sobre la calzada y el punto más bajo del cable se encuentra a 15 metros sobre dicha calzada. Hallar la distanciaal cable de un punto de la vía de paso a 15 metros desde la base de una torre.
10. Encontrar las ecuaciones tanto de la hipérbola como de sus asíntotas, si se sabe que sus focos son los puntos F1(3,2) y F2(13,2), y la longitud de su eje transverso es 8 unidades.
11. Determinar el valor de k, así como la ecuación de una parábola, si los extremos de su lado recto son los puntos (5;k) y...