Seccion Conica

ELIPSE
La elipse es una línea plana, curva y cerrado, la podemos definir desde el punto de vista geométrico de la siguiente manera:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a sus puntos fijos llamados focos es constante.
La elipse en conjunto con la hipérbola, la parábola y la circunferencia forma la sección cónica.

Historia
La elipse, como curvageométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó sudescubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

Elementos de la elipse
Ejes de simetría: estas son rectas que permiten reflejar una mitad de la elipse sobre la otra. Una elipse tiene 2 ejes:
* Eje mayor o focal: este es sobre el cual se encuentran los focos.
* Eje menor: este es el que contiene losvértices de la elipse.
Focos: son los 2 puntos fijos F1 Y F2 ubicados sobre el eje mayor.
Centro: es el punto medio entre los focos. Es además el punto donde se interceptan el eje mayor con el menor.
Vértices: puntos de la elipse en donde se interceptan los ejes de simetría. Una elipse tiene 4 vértices:
* Vértices mayores:[] son los que se encuentran en el eje mayor.
* Vértices menores:son los que encontramos en el eje menor.
Semiejes: segmentos que unen el centro con uno de los vértices. Encontramos 2:
Semieje mayor: este une al centro con un vértice mayor. Este es el semieje mas largo y lo llamamos a.
Semieje menor: este une el centro con un vértice menor. Es el semieje mas corto y lo llamamos b.
Lado recto: El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos yes perpendicular al eje mayor.

Excentricidad: esta nos indica la forma redondeada de la elipse y mientras su excentricidad se acerca a cero será más redondeada.

GRAFICA DE UNA ELIPSE

ECUACIONES DE LA ELIPSE
Centro | Eje mayor | Ecuación | Coordenadas de los focos | Ecuaciones de las directrices |
En el origen: (0,0) | X | x2a2+y2b2=1 | (c, 0) | x=±a2a2-b2 |
| Y |x2b2+y2a2=1 | (0, c) | y=±a2a2-b2 |
En un punto distinto alorigen: (h,k) | Paralelo a X | x-h2a2+y-k2b2=1 | (h c, k ) | x=±a2a2-b2+h |
| Paralelo a Y | x-h2b2+y-k2a2=1 | (h, k c) | x=±a2a2-b2+k |

Ejercicios
1 Hallar el foco y el vértice de la siguiente elipse:


.
2 Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0 Sol:
 
(Completación de cuadrado) 
(Factorización y simplificación) 
 
(Dividiendo por 4) 
 
Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C (2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y. 
Los vértices son los puntos V1 (2, 1), V2 (2, -3), V3 (3, -1) y V4 (1, -1). 
Como, se tiene que los focos están localizados enlos puntos y. 
3 La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

 

Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría. Desde la geometría se define como:
Un lugar geométrico de lospuntos de un plano tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[] donde demuestra la existencia de una solución mediante el...