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LA PARÁBOLA
Definición: Se trata de una curva plana, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano π que no se pasa por el vértice.
También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, y de la directriz, en una parábola sedestacan los siguientes elementos:
* Eje.
* Vértice.
* Distancia.
La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.
EXPRESION ANALITICA DE LA PARABOLA
Sean L'L y F la recta y puntos fijos. Tracemos por F la perpendicular al eje x y sean 2a la distancia de F a L'L. Por definición de parábola la curva debecortar al eje x en el punto O, equidistante de F y L'L. El eje y se traza perpendicular al x por el punto O.
Las coordenadas de F son (,a 0) y la ecuación de la directriz es x = ─ a, o bien, x + a = 0.
Sea P(x, y) un punto genérico cualquiera de manera que
PFPM = e = 1.
Entonces, (x-a)2+(y-0)2=x+ a
Elevando al cuadrado
x2-2ax+a2 +y2=x2+2ax+a2,
O bien,y2 =4ax.
De la forma de la ecuación se deduce que la parábola es simétrica con respecto al eje x. El punto en que la curva corta al eje de simetría se denomina vértice. La cuerda C'C que pasan por el foco y es perpendicular al eje se llama latus rectum. La longitud del latus rectum es 4a, es decir, el coeficiente del término de primer grado en la ecuación.
Si el foco está a laizquierda de la directriz, la ecuación toma la forma y2 =- 4ax.
Si el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es
y2 =± 4ay
en la que el signo depende de que el foco esté por encima o por debajo de la directriz.
Consideremos ahora una parábola de vértice, el punto (h, k), de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco esté a una distancia a del vértice y a laderecha de él. La directriz, paralela al eje y y a una distancia 2a a la izquierda del foco, tendrá la ecuación x = h ─ a, o bien, x ─ h + a = 0.
Llamemos P(x, y) un punto genérico cualquiera de la parábola. Como PF = PM,
x-h -a 2+y-k2=x-h+a,
es decir,
y2-2ky+k2=4ax-4ah,
O bien, (y-k)2=4ax-h.
Otras expresiones típicas son
(y-k)2 = ― 4a x-h;(x-h )2 = 4 a (y – k);
(x-h)2 = ― 4 a(y – k).
Que desarrolladas adquieren la forma
x = ay2 + by+c,
x = ax2+ bx+c.

LA ELIPSE
Definición: Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano, π, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo β mayor que a, pero menor de 90°(a < βc). Consideremos un punto genérico P(x, y) que pertenezca al lugar. Por definición,
F'P + PF = 2a,
Es decir, (x+c)2+(y-0)2 +(x-c)2+(y-0)2=2a
o bien x+c2+y-02 +2 a-x-c2+y-02.
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes, x − a2= − a (x-c)2+(y-0)2.
Elevando al cuadrado y simplificando,(a2-c2) x2+a2y2=a2a2-c2.
Dividiendo por a2a2-c2 se obtiene la ecuación x2a2+y2a2-c2 = 1.
Como > c, a2−c2 es positiva. Haciendo a2-c2=b2, resultando la ecuación de la elipse en la forma x2a2+y2b2=1,
o bien, b2x2+a2y2=a2b2.
Como esta ecuación solo contiene potencias pares de x e y, la curva es simetrica con respecto a los ejes decoordenadas x e y, y con respecto al origen. El punto 0 e el centro de la elipse y los ejes se denominan ejes mayor y eje menor.
Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0, − c), el eje mayor estaría sobre el eje y, con lo que la ecuación resultaría de la forma .x2b2+y2a2=1
la excentricidad e = ca =a2-b2a, o bien c = ae.
Como la elipse tiene dos focos, también...