secciones conicas

Secciones Cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

La Circunferencia

La circunferencia es una línea curva y cerrada donde todos sus puntos están a igualdistancia del centro.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

Elementos de la circunferencia

Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.Diámetro: Es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro).
Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).
Recta Secante: Es la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta Tangente o simplemente Tangente: Es la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto detangencia: Es el de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
Arco: Es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Semicircunferencia: Es cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación General de una circunferencia:
(x ─ a)^2 + (y ─ b)^2 = r^2
Ecuacion Ordinaria de una circunferencia:
Cuandoel centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al:
x^2 + y^2 = r^2

Ejercicios resueltos de circunferencia

1) Hallar la ec. de la circunferencia que pasa por el punto P(-3;2) y cuyo centro es el C(1;5)
luego la ec. es (x-1) 2 +(y-5)2 = 25 Rta: radio r= PC = (4;3) 5

2) Hallar la ec. de la circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros tiene por extremo lospuntos A(2;3) y B (-4;- 9) .
Rta: De acuerdo con la definición de diámetro de una circunferencia, JJJG el centro es el punto
medio entre A y B ⇒C( -1;-3).El radio es por ejemplo r= AC = (−3;−6) = 45 Luego la ec. es (x+1)2 +(y+3)2 =45

3) Hallar la ec. de la circunferencia de centro C(1;4) y que resulta tangente a la recta de ec. 3x+4y-4=0
Rta: El radio de la circunferencia es la distancia delcentro a la recta tangente. r= dist(C;recta) = 3 + 16 − 4 = 3 9 + 16
Luego la ec. de la circunferencia es (x-1) 2 +(y-4)2 =3

4) Calcular las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia x2 +y2 +2x-4y-4=0
Rta: Completando cuadrados : x 2 +y2 +2x-4y-4=0 ⇒ (x2 +2x +1)-1+(y2 -4y+4)-4-4=0
⇒ (x+1)2 +(y-2)2 =9 ⇒C(-1;2) y radio R=3

La Hipérbola

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) esuna sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre losvértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la Hipérbola

En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
El eje focal: Es la recta que pasa por los focos F y F´.
El eje secundario: Es la mediatriz del segmento F´F.
El centro de la hipérbola: Es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro desimetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
La distancia focal: Es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
Los vértices: Son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.
El eje trasverso o eje real: Es el segmento AA´.
El eje no trasverso o eje imaginario: Es el segmento BB´....