Selectividad PAU Mat II A lgebra

ÁLGEBRA
1.

(Junio, 1994) Comprueba que el determinante

2.

(Junio, 1994) Considerar la matriz A = ⎜

−3 1 1 1
1 −3 1 1
1
1 −3 1
1
1 1 −3

es nulo sin desarrollarlo. Explica el proceso que sigues.

⎛ 2 1 ⎞
. Probar que las matrices de la forma B = k ⋅ A + r ⋅ I 2 , donde k y r son números
⎝ 1 1 ⎟⎠

reales e I 2 la matriz unidad 2x2, conmutan con la A, es decir, A ⋅ B = B ⋅ A .
3.

(Junio 1994)Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro a perteneciente a los números reales:

⎧ x + ay = 0
⎪
⎨ax + y = −2
⎪2x + az = 0
⎩
4.

⎛ 1 1n ⎞
⎟ . Calcular:
⎝ 0 1 ⎠

(Septiembre,1994) Dada la matriz A = ⎜

a) La potencia enésima A n . b)
5.

La inversa A −1 .

(Junio,1995) Sea U una matriz cuadrada nxn con todos sus elementos iguales a 1, sea I n la matriz unidad nxn y sea αun número

real. Escribir la matriz α ⋅U − α ⋅ I n y calcular su determinante.

6.

⎧ ax + y + z =1
⎪
(Junio 1995) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible: ⎨ x + a y + z = a
⎪ x + y + 2z = a 2
⎩

7.

(Junio, 1995) Encontrar todas las matrices A tal que:

8.

(Septiembre, 1995) Se dice que una matriz nxn cuadrada A es ortogonal si A ⋅ A = In , donde A es la matriz traspuesta de A, e I n

⎛ 0 1 2 ⎞
⎛ 1 2 ⎞
⎜⎝ 1 0 0 ⎟⎠ ⋅ A = ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ .
t

t

es la matriz unidad nxn. Se pide:
a) Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales.
b) Si A es ortogonal, hallar A .
9.

(Septiembre,1995) Calcular, sin desarrollar, el siguiente determinante, enumerando las propiedades de losdeterminantes utilizadas:

5
5
5
5
5

1
2
1
1
1

1
1
3
1
1

1
1
1
4
1

1
1
1
1
5

10. (Septiembre 1995) Discutir el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible:

⎧
x + y − z =1
⎪
4x + ay = 5
⎨
⎪ 3x + a y − az = 5
⎩

Problemas de Selectividad __________________

⎛ 1 a b +c
11. (Junio, 1996) Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de lamatriz : A = ⎜ 1 b c + a
⎜
⎝ 1 c b +a
Deducir de ahí los posibles valores del rango de A.
⎛ 1
3
1
12. (Junio, 1996) Hallar el rango de la matriz A = ⎜ 1 a 2 + a +1 a
⎜
a−4
a−2
⎝ −1
la inversa de A.

⎞
⎟.
⎟
⎠

⎞
⎟ , según sea el valor del parámetro a. Indicar cuando existe
⎟
⎠

⎛
⎞
⎛
⎞
13. (Septiembre, 1996) Sean A = ⎜ 1 1 ⎟ , B = ⎜ 1 1 ⎟ y 02 la matriz nula 2x2. Se pide:
⎝ −1 0 ⎠
⎝ −1 −1 ⎠
a)Encontrar todas las matrices X tales que A ⋅ X = B .
b) Encontrar todas las matrices Y tales que Y ⋅ B = 02 .

⎧
x + y =1
⎪
14. (Septiembre 1996) Hallar el valor o valores de a para que el sistema ⎨ x + 2 y + (a +1)z =1 , sea compatible e indeterminado .
⎪ − x − y + (a +1)z = a
⎩
Resolverlo en esos casos.
⎧ ax − y + z = 0
⎪
15. (Junio 1997) Discutir el sistema ⎨ x + y + az = 3
⎪
− x + y =1
⎩infinitas soluciones.

⎛ 0 0 0
16. (Junio, 1997) Dada la matriz A = ⎜ 1 0 0
⎜
⎝ 0 1 0
positivo.

según los valores del parámetro a. Resolverlo en los casos en los que admita

⎞
⎟ encontrar todas las matrices B tales que A ⋅ B = B ⋅ A ; calcular A n con n entero
⎟
⎠

⎛ 1 0 0
17. (Septiembre,1997) Dadas las matrices A = ⎜ 0 2 1
⎜
⎝ 0 5 3

⎞
⎛ 0 0 1 ⎞
⎟ y B = ⎜ 0 1 0 ⎟ hallar la matriz X dada por A ⋅ X ⋅A −1 = B .
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝ 1 0 0 ⎠

⎛ 1 a
1 −1 ⎞
⎜
18. (Septiembre, 1997) Hallar el rango de la matriz A = 0 1 a −1 0 ⎟ según el valor del parámetro a.
⎜
⎟
−1 ⎠
⎝ 1 1 a
⎧ x + (a 2 −1)y + az =1
⎪
19. (Junio 1998) Discutir el sistema ⎨ (a 2 −1)y + (a −1)z = 0 según sea el valor del parámetro a. Hallar, si existe, la solución del mismo
⎪
x + a 2z = 0
⎩
cuando a = 0.

⎛ 1
0
0
⎜
20. (Junio,1998)Determinar a, b y c para que la matriz A = ⎜ 0 1 2 1 2
⎜⎝ a
b
c

⎞
⎟
t
⎟ verifique que su traspuesta A coincide con su
⎟⎠

inversa A −1 . Calcular en todos esos casos la matriz A 4 .

⎧
x +z =0
⎪
ax + y + z = 0 admita infinitas
21. (Septiembre 1998) Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones: ⎨
⎪ x + (a −1)y + az = 0
⎩
soluciones. Resolverlo en cada uno de esos casos.

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