SEMANA 9

SEMANA 9

EL PLANO

Tema :

Así como en R 2 la gráfica de una ecuación de dos variables x e y es una curva, en R 3 la gráfica de
una ecuación en tres variables x , y , z es una superficie. La más simple es el plano, pues su ecuación
es de primer grado en tres variables.
1. Un plano en el espacio es un conjunto de puntos  x; y; z   R3 . Si existe un punto

P0  x0 ; y0 ; z0  y dos vectores noparalelos a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  , de tal manera que





  P  R3 / P  P0  ta   b; t ,   R

Ecuación Vectorial………….. (1)

2. De la ecuación P  P0  ta   b , se tiene:

 x; y; z    x0 ; y0 ; z0   t  a1; a2 ; a3    b1;b2 ;b3 

Luego

 x  x0  ta1  b1

 y  y0  ta2  b2
 z  z  ta  b
0
3
3


Ecuación paramétrica……... (2)

3. Sea  el plano quepasa por P0  x0 ; y0 ; z0  y N   A; B; C  vector normal al plano  . Si

P  , entonces: P0 P  N , luego:

P0 P  N  0
N  P0 P  0

N   P  P0   0 Ecuación normal o vectorial

4. Luego reemplazando tenemos:

A x  x0   B  y  y0   C  z  z 0   0

La ecuación también se puede escribir como

Ax  By  Cz  D  0 Ecuación General

Donde A , B y C son las componentes del vectornormal N

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Ejemplo Encuentre la ecuación del plano que pase por el punto  3;4; 5 y es paralelo a los vectores

a   3;1; 1 y b  1; 2;1
Solución:

P  P0  ta   b;

t,   R

P   3;4; 5  t  3;1; 1   1; 2;1 ;

t,   R

Es la ecuación del plano en forma vectorial.
Ejemplo Encuentre la ecuación del plano que pase por el punto

2;4; 1

con vector normal

N   2;3;4 
Solución:
Dada la ecuación

N   P  P0   0

 2;3;4   x  2; y  4; z  1  0
2 x  3 y  4 z  12

ECUACIONES DE LOS PLANOS COORDENADOS
1) Plano XY
El plano XY pasa por el origen de coordenadas  0;0;0  y cualquier vector a los largo del eje

Z es normal a él. El vector normal más simple es el canónico k   0;0;1
Así de la ecuación general delplano tenemos:

A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Donde N   A; B; C   k
Reemplazando
Se tiene

0  x  0   0  y  0   1 z  0   0
z0

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2) Plano XZ
El plano XZ pasa por el origen de coordenadas  0;0;0  y cualquier vector a lo largo del eje

Y es normal a él. El vector más simple es el canónico j   0;1;0  , así de laecuación general
del plano tenemos:

A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Donde N   A; B; C   j
Reemplazando
Se tiene

0  x  0   1 y  0   0  z  0   0
y0

3) Plano YZ
El plano YZ pasa por el origen de coordenadas  0;0;0  y cualquier vector a lo largo del eje

X es normal a él. El vector más simple es el canónico i  1;0;0  , así de la ecuación general
del plano tenemos:

Ax  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Donde N   A; B; C   i
Reemplazando

1 x  0  0  y  0   0  z  0   0

Se tiene

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x0

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Para representar gráficamente un plano Ax  By  Cz  D  0 , debe hallarse siempre que sea
posible la traza de la grafica en cada uno de los planos coordenados.
La traza en el plano XY seobtiene haciendo z  0 en la ecuación dada; el resultado será la ecuación
lineal Ax  By  D  0 , que en general podrá representarse como una recta en el plano XY .
Análogamente, para obtener la traza en el plano XZ , debe hacerse y  0 y dibujar la recta
Ax  Cz  D  0 ; y para la traza en el plano YZ , hágase x  0 y dibuje la recta By  Cz  D  0 .
Ejemplo Dibujar el plano cuya ecuación es2 x  3 y  4 z  12
Solución:
La traza en el plano XY ; hacemos z  0 , y obtenemos

2
y  4 x
3

La traza en el plano XZ , hacemos y  0 , y obtenemos

La traza en el plano YZ , hacemos x  0 , y obtenemos

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z  3 x
2

z  3

3
y
4

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Para graficar un plano tener en cuenta los siguientes pasos:
i.
Grafica los tres puntos de cruce.
ii.
Una dos...