Serias De Fourier

MATEMÁTICA APLICADA A TELECOMUNICACIONES E.A.P. ELECTRÓNICA

SERIES DE FOURIER

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MATEMÁTICA APLICADA
"SERIES DE FOURIER”

INTRODUCCION
Si no se tiene una noción previa, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga detransformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Un ejemplo de representación en frecuencia, puede ser el ecualizador de un equipo de música. Las barritas que suben y bajan, indican las diferentes componentes frecuenciales de la señal sonora que estás escuchando. Esto, lo hace ni más ni menos que unintegrado que realiza precisamente la transformada de Fourier de la forma más rápida posible (FFT, o Fast Fourier Transform). El trabajo con la señal en frecuencia, no solo sirve como información, sino que se puede modificar, de forma que es ampliamente utilizada en filtros, procesado de la imagen y el sonido, comunicaciones (modulaciones, líneas de transmisión, etc.) y otro tipo de aplicaciones máscuriosas: estadística, detección de fluctuaciones en los precios, análisis sismográfico, etc. Tomemos una señal bipolar cuadrada periódica.

Como vemos en el grafico la podemos aproximar mediante sumas de senos y cosenos de distintas frecuencias, todas multiplo de la fundamental. Para poder realizarlo necesito la herramienta matemática que veremos a continuación.

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MATEMÁTICA

SERIES DE FOURIER Sea f(t) una función periódica de periodo T, llamaremos SERIE DE FOURIER asociada a f(t) a UNA serie trigonometrica. La serie puede desarrollarse para igualar cualquier función deseada durante cualquier duración finita de tiempo mientras la componente fundamental de la serie pasa por un ciclocompleto. Si llamamos t1 al principio y t2 al final del período T de la componente fundamental será t2 - t1 = T y con ello: ωT = 2π ; T = 2π/ω ó ω = 2π/T El método de encontrar los coeficientes, llamado análisis de Fourier, se basa en que las funciones seno y coseno constituyen un sistema ortogonal, esto es el promedio de sus productos en cruz es cero. Y con esto resulta:

a0 ∞ SF f ( t ) = + ∑ (an . cos(nωt ) + b n . sen(nωt)) 2 n =1
con ω= 2π T y n ∈Z

Se define entonces:

2 a0 = ∫ f (ωt ) . d(ωt) T −T / 2 2 an = ∫ f (ωt) . cos(nωt) . d(ωt) T −T / 2 2 bn = ∫ f (ωt ) . sen(nωt) . d(ωt) T −T / 2
Casos particulares
T/2 T/2

T/2

Podemos demostrar que hay condiciones de simetría que permiten establecer la existencia o no de determinados términos en la serie, lo que nos ahorratrabajo en el cálculo. Función impar: f(x) = -f(-x) sólo tienen términos en senos.
T/2 T/2 2 2  0  ak =   f(t) cos kω0t dt =    f(t) cos kω0t dt + f(t) cos kω0t dt      0  T  − T/2  T   − T/2  substituyamos la variable t por -t', o sea t' = -t, y hagamos uso del hecho que f(t) = -f(-t) = -f(t'):

∫

∫

∫

2  ak =    −   T 

∫

0

− T/2

f(−t') cos (−kω0t')dt' +

∫ f(t) cos kω t dt
0 0

T/2



=

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T/2  2  ak =    f(−t') cos (kω0t') dt' +  T  0 y también:

MATEMÁTICA

∫

∫ f(t) cos kω t dt
0 0

T/2



= 0

T/2 4 bk =   f(t) sen kω0t dt   T 0 es decir dos veces la integral de la mitad del intervalo.

∫Función par: f(x) = f(-x) sólo tienen términos en cosenos y la constante. 2 bk =     T

∫ f(t) sen kω t dt =
−T / 2 0

T/2

T/2 2  0  ( f t) sen kω0t dt  ( =    f t) sen kω0t dt +   0  T  −T / 2  substituyamos la variable t por -t', o sea t' = -t, y hagamos uso del hecho que f(t) = f(-t) = f(t'):

∫
0

∫

2  bk =    −   T   2  bk =    − T  y...