Series de Fourier

Tema 7
Series de Fourier
´
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas
surgieron hist´oricamente
al resolver por el m´etodo de separaci´on de variables un problema de contorno de ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas f´ormulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
matem´aticos pensaron que era imposible expresar una funci´on f (x)cualquiera como suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´o de recopilar datos
para convencer al mundo cient´ıfico de tal posibilidad.

7.1

Series de Fourier

Definici´
on 7.1 (Serie de Fourier)
Se llama serie de Fourier de una funci´on f(x) en el intervalo [−π, π] a:
f (x) =

∞
a0
+
(an cos nx + bn sen nx)
2
n=1

(∗)

A los coeficientes a0 ,a1 , · · · , an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier de
f(x) en [−π, π].
Debido a que
π
−π

sen mx sen nx dx =

0
=0

π

si n = m
si n = m

−π

1

cos nx dx = 0

π
−π

sen nx dx = 0

2

Tema 7. Series de Fourier
π

−π

0
=0

cos mx cos nx dx =

π

si n = m
si n = m

−π

sen mx cos nx dx = 0

e integrando t´ermino a t´ermino enla igualdad (∗) obtenemos:
π
−π
π
−π
π
−π

f (x) cos nx dx = an
f (x) dx =

π
−π

cos2 x dx = an π ⇒ an =

a0
1
2π ⇒ a0 =
2
π

f (x) sen nx dx = bn

π
−π

π
−π

1
π

π
−π

f (x) cos nx dx

f (x) dx

sen2 x dx = bn π ⇒ bn =

1
π

π
−π

f (x) sen nx dx

Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en que
el sistema{1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
π
(f (x), g(x)) =
f (x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi´on de un
−π

vector f (x) como combinaci´on lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
Definici´
on 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci´on f(x) en el intervalo [−L, L]
a:
∞
a0nπ
nπ
f (x) ∼
+
x + bn sen
x
an cos
2
L
L
n=1
donde
bn =

a0 =
1
L

L
−L

1
L

L
−L

f (x) dx

f (x) sen

an =

1
L

L
−L

f (x) cos

nπ
x dx
L

nπ
x dx
L

Este hecho se basa en que el sistema de vectores
2πx
πx
2πx
πx
, sen
, · · · , cos
, cos
,···
L
L
L
L
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
1, sen

(f(x), g(x)) =

L
−L

f (x)g(x) dx

An´alogamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´on f (x) definida en un
a+b
al origen.
intervalo [a, b] haciendo una traslaci´on del punto medio
2

3

7.1. Series de Fourier

Tomo L = b −

a+b
b−a
=
2
2

−L=a−

a+b
a−b
=
2
2

Definici´
on 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci´on f(x) en el intervalo [a, b] a∞
nπ
a0
nπ
f (x) =
+
an cos b−a x + bn sen b−a x
2
n=1
2
2

donde
bn =

2
b−a

a0 =
2
b−a

b
a

b
a

f (x) dx

f (x) sen

an =

2
b−a

b
a

f (x) cos

2nπ
x dx
b−a

2nπ
x dx
b−a

Las series anteriores tambi´en se podr´ıan haber escrito de la forma:
∞

f (x) ∼ C0 +

Cn cos(nω0 t − θn )
n=1

donde

Cn =

sen θn =

a2n + b2n ,
bn
a2n +b2n

siendo ω0 = 1,

cos θn =

θn = arctang

an
a2n + b2n
bn
an

π 2π
,
seg´
un hayamos utilizado una de las tres f´ormulas anteriores.
L b−a

La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´esima arm´onica
de la funci´on peri´odica. La primera arm´onica se conoce comunmente con el nombre de
2π
fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci´on y ω0 =se conoce con
T
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ´angulos θn se
conocen como amplitudes arm´onicas y ´angulos de fase, respectivamente. En M´
usica, a la
primera arm´onica, segunda arm´onica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
segundo tono, etc.
Quedan muchas cuestiones por resolver:
• ¿ Qu´e debe cumplir f (x) para que su serie de...