Serie Trigonometrica De Fourier

La representación en serie trigonométrica de Fourier.
Si se sabe que una función f (t) es real, hay una forma equivalente de representar f (t) en series de Fourier usando un conjunto de funciones ortogonales. Para investigarlo se tomara la parte real de ambos lados de la ecuación.

Formulas
frt=n=-∞∞Re{Fn }Reejnω0t-n=-∞∞Tm{Fn}Tm{ejnω0t}frt
=n=-∞∞Re{Fn }Reejnω0t-n=-∞∞Tm{Fn}Tm{ejnω0t}Si los Fn aparecen en la ecuación, habrá que expresar los nuevos coeficientes reales en términos de Fn y F*n. por lo tanto, se investigaron los F*n para señales reales:
Formulas
Fn*=1(t2-t1)t1t2ftejnω0tdt=F-n∙
Partiendo de las ecuaciones ya mencionadas y usando esta ecuación puede escribirse
Formulas
ReFn=12[Fn+Fn*]
=12Fn +F-n,
TmFn=12j[Fn-Fn*]
=12jFn-F-n.
Por conveniencia, eneste punto se definirán nuevos coeficientes:
a0≜F0,
an≜Fn+F-n=2ReFn, n≠0
bn≜jFn-Fn=-2TmFn,
Fn=12an-jbn, n≠0
De las definiciones de an y de bn puede verse que an es una función par de n y mientras bn es impar, en consecuencia, existe simetría completa en n alrededor de n = 0, por lo que podrían duplicarse los coeficientes y sumar solo los términos con valores positivos de n.Siguiendo el método, la ecuación se puede escribir de este modo:
ft=a0+n=1∞ancosnω0t+n=1∞bnsen nω0t
para ftreal en t1,t2.
Por lo anterior, el conjunto el conjunto de las funciones cos nw0t para (n = 0, 1, 2,……), w0 = 2π/ (t2 - t 1), forman un conjunto ortogonal completo en el intervalo (t2 - t 1). Esto se llama representación trigonométrica de Fourier de f(t) en el intervalo(t2 - t 1), y puede definir una función real con una energía finita en un intervalo dado. Nótese que aunque las funciones sen nw0t sen 2nw0t, etc., forman un conjunto ortogonal en cualquier intervalo [t1, t 1, + (2π/w)], no es un conjunto completo debido al hecho que puede mostrarse una función, a saber cos nw0t, que es ortogonal a sen nw0t, en el mismo intervalo. Por lo tanto, para completarel conjunto deben incluirse tanto las funciones coseno como las funciones seno.
Mas que evaluar las constantes an, y bn en fn, se pueden multiplicar ambos miembros de la ecuación por sen nw0t y sen nw0t. Debido a que cos mw0t, cos nw0t, sen nw0t, sen mw0t son mutuamente ortogonales, los términos que permanecen, después de las simplificaciones son:
an=t1t2ftcosnω0t dt t1t2cos2nω0tdt=2(t2-t1)t1t2ftcosnω0t dt
bn=t1t2sen nω0t dtt1t2sen2 nω0t dt=2(t2-t1)t1t2sen nω0t dt
a0=t1t2ft dtt1t2dt=1(t2-t1)t1t2ft dt
La serie trigonométrica de Fourier puede representarse en forma más compacta como
ft=n=0∞cncos⁡(nωt+φn).

Donde
cn=an2+bn2
φn=tan-1(-bnan).
Sustituyendo las ecuaciones se halla que esta representación trigonométrica se relaciona con la exponencialcompleja por
cn=2Fn=2FnFn*, n≠0
φn=tan-1Tm{Fn}Re{Fn},
Y c0=F0.

EJEMPLO:
Representar f(t) = t2 en serie trigonométrica de Fourier en el intervalo (0,2).
Solución. En este caso, t1 = 0, t2 = 2, y w0 = π. Los coeficientes pueden hallarse por aplicación directa de las ecuaciones:
a0=1202t2 dt=43
an=2202t2cosnπt dt=4(nπ)2 ,
bn=2202t2sen nπt dt= -4(nπ).

De donde, la serietrigonométrica de Fourier f (t) = t2 en intervalo (0,2) es
ft=43+4π2n=1∞1n2 cosnπt -4πn=1∞1n sen nπt .

Cualquier función f (t) puede expresarse en términos de una suma de una función par, fe (t). Estas funciones pueden formarse por las siguientes relaciones:
fet=12ft+f-t,
fot=12ft-f-t,
Y por lo tanto fe (t) + f0 (t) = f (t)
Las propiedades de la función pares e impares sonparticularmente convenientes cuando se toma la serie trigonométrica de Fourier sobre un intervalo simétrico (-T/2, T/2). En este caso, la ecuación puede reducirse a una forma especial dependiendo de qué f (t) sea impar o par. Si es par, el producto f(t) sen w0t es impar en t, las bn son cero y resulta una serie de cosenos. De igual forma, si f (t) es impar, el producto f (t) cos nw0t es impar en t, las an...