Series de fourier

´ Index
4 Introducci´ a l’An`lisi de Fourier o a 4.1 Introducci´. Funcions peri`diques. . . . . . . . o o 4.2 La s`rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.1 S`rie de Fourier d’una funci´ parella . . e o 4.2.2 S`rie de Fourier d’una funci´ senar . . . e o 4.2.3 Forma complexa de les s`ries de Fourier e 4.2.4 El teorema de l’energia . . . . . . . . . 4.3 El fen`men de Gibbs . . . . .. . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 60 61 67 68 68 69 70

59

Cap´ ıtol 4

Introducci´ a l’An`lisi de Fourier o a
4.1 Introducci´. Funcions peri`diques. o o

La idea de senyal recull un ampli espectre de significats. La temperatura en una habitaci´, la cotitzaci´ o o del d`lar, els senyals musicals, els `ptics. . . Lesimatges s´n senyals bidimensionals. En el fons, la paraula o o o senyal ´s sin`nima de funci´. Podem classificar els senyals com continus i discrets. Un senyal continu e o o ´s una funci´ f : (a, b) → R, −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Un senyal discret ´s una funci´ definida en un e o e o interval de Z. Un senyal continu f ´s peri`dic de periode T si f (t + T ) = f (t) per tot t ∈ R i T ´s el menor nombre e o e realque cumpleix la propietat anterior. En aquest tema ens centrarem en estudiar les funcions cont´ ınues que s´n peri`diques. El que farem ´s o o e demostrar que sota certes condicions, aquestes funcions sempre es poden considerar com una superposici´ o dels senyals peri`dics m´s comuns: els sinus i els cosinus. o e Exemples 1 (a) El senyal x(t) = A cos(t) ´s peri`dic de periode 2π. En general, elsenyal x(t) = A cos(Ωt + θ), essent e o e o Ω = 2π , ´s peri`dic de periode T ja que: T x(t + T ) = A cos(Ω(t + T ) + θ) = A cos(Ωt + 2π + θ) = A cos(Ωt + θ) = x(t). Definim Ω com la freq¨`ncia angular del senyal trigonom`tric o sinusoidal. T´ unitats rad/s. La ue e e freq¨`ncia F ve definida per la relaci´ Ω = 2πF . Les seves unitats s´n Hz. El periode ve definit ue o o 1 e per l’invers de lafreq¨`ncia: T = F , i equival als segons necessaris per completar un cicle. θ ´s la ue fase inicial i A ´s l’amplitud del senyal. e An`logament, y(t) = A sin(Ωt + θ) ´s un senyal peri`dic de periode T = a e o A.
2π Ω ,

fase inicial θ i amplitud

t t (b) El senyal x(t) = cos( 3 ) + cos( 4 ) tamb´ ´s un senyal peri`dic. Anam a trobar el seu periode. Aquest ee o ser` un nombre real T tal que a

x(t + T) = x(t) ⇒ cos

t+T 3

+ cos

t+T 4

= cos

t 3

+ cos
T 3

t 4
T 4

.

Perque el senyal anterior sigui peri`dic el que ha de passar ´s que o e ´s el periode de la funci´ cosinus. Per tant: e o T T = 2k1 π, = 2k2 π, amb k1 , k2 ∈ Z 3 4 ⇒

i

siguin m´ltiples de 2π, que u

T = 6k1 π = 8k2 π.

El m´nim T que compleix la condici´ anterior ´s T = 24π. Podem veure que elsenyal ´s peri`dic a ı o e e o la Figura 4.1.

60

´ ` CAP´ ITOL 4. INTRODUCCIO A L’ANALISI DE FOURIER
2.0

61

1.5

1.0

0.5

100

50

50

100

0.5

1.0

1.5

t t Figura 4.1: El senyal peri`dic x(t) = cos( 3 ) + cos( 4 ). o

(c) Al contrari que en el cas anterior, el senyal x(t) = cos(t) + cos(πt) no ´s peri`dic. Si raonam com e o abans arribam a la conclusi´ de qu`x(t) ser` peri`dic si cos(t + T ) + cos(π(t + T )) = cos(t) + cos(πt), o e a o ´s a dir si e 2k2 π = 2k2 , amb k1 , k2 ∈ Z. T = 2k1 π = π Per` la igualtat anterior no es pot donar mai, ja que 2k2 ∈ Z i 2k1 π ∈ Z. Per tant, el nombre T no o pot existir i el senyal no ´s peri`dic. Podem veure que el senyal no ´s peri`dic a la Figura 4.2. e o e o
2

1

20

10

10

20

1

2

Figura...