Series de Fourier

Series de Fourier
Conceptos previos
Iniciaremos este capítulo con la revisión de algunos conceptos elementales que serán de aplicación en los desarrollos
posteriores.

Funciones Pares

Una función y=f(x) es PAR si

Ejemplos: son funciones pares

Como consecuencia inmediata de la definición podemos observar que para todo par de puntos simétricos al origen
“-x0” ; “x0” pertenecientes asu dominio, la función toma los mismos valores numéricos y por lo tanto “su gráfica es
simétrica respecto al eje de ordenadas”.

Propiedades de las funciones pares
Sean f(x) y g(x) dos funciones pares:
Propiedad 1: La suma de dos funciones pares es otra función par:
U(x)= f(x) + g(x) es PAR, es decir, U(-x)=U(x)
Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)= f(x)+g(x)=U(x) por lo tanto se cumple queU(-x)=U(x)

Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones pares es otra función par:
V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x)
Demostración: V(x)= f(x) .g(x) = f(-x) .g(-x) =V(-x) por lo tanto se cumple que V(-x)=V(x)

Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es par
Propiedad 3:
esta propiedad de la integral definida de una función par, en un intervalo
de integración simétrico respecto delorigen es evidente, si se tiene en
cuenta la simetría de representación abordada anteriormente, el valor de
la integral como área.

Funciones impares

Una función y=f(x) es IMPAR si

Ejemplos: son funciones impares

Propiedades de las funciones impares
Sean f(x) y g(x) funciones impares:
Propiedad 1: La suma de dos funciones impares es otra función impar:
U(x)= f(x) + g(x) es IMPAR,es decir, U(-x)=-U(x)
Demostración: U(-x)= f(-x)+g(-x)=- f(x)-g(x)=-( f(x) + g(x) )=-U(x) por lo tanto se cumple que

U(-x)=-U(x)

Propiedad 2: El producto o cociente de dos funciones impares es una función par:
V(x)= f(x) .g(x) es PAR, es decir, V(-x)=V(x)
Demostración: V(-x)= f(-x) .g(-x) =[- f(x)] .[-g(x)] = f(x) .g(x) =V(x) por lo tanto se cumple que
Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es parV(-x)=V(x)

Propiedad 3: El producto o cociente de una función par y otra impar da como resultado una función impar.
Sean f(x) una función par y g(x)una función impar entonces V(x)= f(x) .g(x) es una función impar
Demostración: Sabemos que f(x)=f(-x) y g(-x)=-g(x)
V(-x)= f(-x).g(-x)=f(x).[-g(x)]=-[f(x).g(x)]=-V(x) por lo tanto V(x) es impar
Demuestre que V(x)=f(x)/g(x) es imparPropiedad 4: Dado que una función impar toma valores numéricos opuestos para valores
opuestos de la variable independiente, su gráfica es una curva simétrica respecto al punto
de origen.
Ejemplo: f(x)=x3

Como consecuencia de esta propiedad de simetría geométrica resulta evidente que toda
integral definida de una función impar en un intervalo de integración simétrico respecto
del origen es nulo.Por lo tanto

.

Funciones Periódicas

Definición: Se dice que una función y=f(x) es periódica y que su período es “p” si se cumple que:

Ejemplos: las funciones trigonométricas, ya que:

En los dos primeros casos el período es 2π y en el tercero es π. Como consecuencia inmediata de la definición
observamos que la gráfica de una función periódica se repite en intervalos consecutivoscuya amplitud es “p”.

Representamos la función de período 2π definida por:

Propiedades de las funciones periódicas

Propiedad 1: Si
y
, de modo que “cualquier
múltiplo entero del período, también es período de la misma función”. El período “p” de menor valor se denomina
período primitivo de la función.
Hemos visto que tg x= tg(x+π) , son también períodos de la función tangente,primitivo de la función es p= π.

etc., pero el período

Propiedad 2: Si f(x) es una función periódica de período p, f(ax) es otra función de período p/a

.

Demostración: en la función f(ax) le asignaremos a x el valor x+p/a
f(a(x+p/a)) distribuyendo queda f(ax+a.p/a)=f(ax+p) y como

incluso para (a.x)

entonces f(a(x+p/a))=f(ax) con lo cual queda demostrado que su período es p/a
Como...