Series de fourier

SERIES DE FOURIER
El concepto de series de Fourier no es fácil de asimilar y por lo mismo, trataremos de introducirlo de una forma sencilla, a través de un planteamiento matemático similar al deSerie de Taylor que se estudia en los cursos de Cálculo, es decir, como un problema de representación de funciones como series de ciertas funciones particulares.
Sea una función definida en unintervalo de la forma , tal que existe.
Queremos saber si es posible representar a como una serie de senos y cósenos. Formalmente, planteamos el siguiente:
Problema:
¿ Podemosencontrar números y tales que se cumpla la siguiente igualdad:
(1) ?
Observación:
Nótese que el término, aparentemente está aislado del resto de la serie, pero en realidad podríamos integrarlo a ella, si hacemos que la suma comience desde . Sin embargo, para seguir con la costumbre de losautores de los libros de texto, seguiremos la escritura tal y como se planteó en el problema anterior.

Para poder maniobrar más fácilmente con la igualdad (1), veamos primero el siguiente:LEMA. i) Si n, m son enteros no negativos y distintos entre sí, entonces:

ii) Para cualquier ,

iii) Para cualquier entero positivo n:

Demostración. Es una simpleintegración, en todos los casos.

Regresando al problema planteado arriba, vemos que si efectivamente se da la igualdad, entonces podemos integrar miembro a miembro, y si esta integración se puederealizar término a término, entonces:

donde hemos usado el lema inciso (i) y (ii), para concluir que todas las integrales dentro de la serie, son 0.
De aquí podemos despejar el primercoeficiente para obtener:


Para encontrar los demás coeficientes, seguimos la siguiente táctica: elegimos un entero positivo k y multiplicamos (1) por el término :

Y enseguida...