Series De Fourier

1.

Series de Fourier

Definición 1. Diremos que dos funciones f1 , f2 : [a, b] → R son ortogonales en el intervalo [a, b] si:
b

f1 , f2 =
a

f1 (x) · f2 (x) dx = 0.

Un conjunto defunciones {fi : [a, b] → R, i = 1, 2, . . . } se llama conjunto ortogonal de funciones en [a, b] si siempre que n = m, las integrales
b

fn , fm =
a

fn (x) · fm (x) dx = 0

Definimos la norma de lafunción fn (x), que denotamos por fn , mediante:
b 1/2

fn =

fn , fn =
a

2 fn (x) dx

.

Un conjunto ortogonal de funciones {fn (x)} se llama conjunto ortonormal, en un intervalo [a,b], si fn = 1, ∀ n. Así, si {fn (x)} es un conjunto ortonormal de funciones:
b

fn , fm =
a

fn (x) · fm (x) dx =

0 si n = m 1 si n = m

Ejemplo 1. Las funciones fn (x) = sen nx; n ∈ N,forman un conjunto ortogonal en [−π, π]. En efecto:
π

fn , fm =
−π

sen nx sen mx dx

1 π (cos(n − m) x − cos(n + m) x) dx 2 −π π π 1 cos(n − m) x dx − cos(n + m) x dx = 2 −π −π 1 sen(n − m)x πsen(n + m)x π = − 2 n−m n+m −π −π 1 = (0 − 0) = 0 2 = Note que si n = m: fn , fn = 1 2 1 = 2
π −π

(1 − cos 2nx) dx sen 2nx 2n
π

∴ fn =

√

2π −

=π
−π

π

1

Ejemplo 2. Lasfunciones en [−π, π] : n=m: fn , fm =

fn (x) = cos nx
π −π

forman un conjunto ortogonal

cos nx · cos mx dx
π

=

1 2 1 2

−π

(cos(n + m) x + cos(n − m) x) dx
π

=0 n=m: fn , fn = cos2nx + 2π
−π

=π

=⇒

fn =

√

π

Ejemplo 3. El conjunto {1, sen nx, cos nx; n ∈ N} es ortogonal en [−π, π]. Es decir, la integral del producto de cualquier par de esas funciones es 0:
π 1sen(n + m) x + sen(n − m) dx dx 2 −π −π π 1 cos(n + m)x π = − − cos(n − m)x 2 n+m −π −π 1 = (0 − 0) = 0. 2 Los conjuntos ortogonales de funciones proporcionan desarrollos en serie de funciones condeterminadas características, mediante la construcción de aproximaciones a estas funciones. De hecho, Bernoulli y Euler usaron este tipo de series en sus estudios relativos a la vibración de cuerdas y...