Series De Potencias

Tema 5. Series de Potencias
Prof. William La Cruz Bastidas
21 de noviembre de 2002

Tema 5

Series de Potencias
Definici´n 5.1 La sucesi´n de n´meros complejos {zn }∞ tiene un l´mite o converge a un
o
o
u
ı
n=0
u
n´mero complejo z , si para todo ε > 0 existe un n´mero entero positivo N tal que
u
|zn − z | < ε

siempre que

n > N.

Cuando el l´mite de la sucesi´n {zn }∞existe, es decir, que {zn }∞ converge a z , se escribe
ı
o
n=0
n=0
lim zn = z.

n→∞

Si la sucesi´n no tiene l´mite diverge.
o
ı
Teorema 5.1 Sean zn = xn + iyn (n = 0, 1, 2, . . . ), para xn y yn n´meros reales, y z = x + iy
u
para x y y n´meros reales. Entonces, lim zn = z si, y s´lo si lim xn = x y lim yn = y .
u
o
n→∞

n→∞

n→∞

Ejemplo 5.1 Determinar si la sucesi´n
o
zn =1
(−1)n
+i 1+
n
n

(n = 1, 2, 3, . . . )

converge y halle el l´mite si es el caso.
ı
Soluci´n. Se tiene que zn = xn + iyn , donde
o
xn =

1
,
n

yn = 1 +

(−1)n
.
n

Ahora,
lim xn = 0

n→∞

Por el Teorema 6.1 la sucesi´n zn =
o

1
n

+i 1+

y

lim yn = 1.

n→∞

(−1)n
n

converge y, adem´s,
a

lim zn = i.

n→∞

♦
1

TEMA 5. SERIES DEPOTENCIAS

2

Definici´n 5.2 Una serie infinita
o
∞

zn = z0 + z1 + z2 + · · ·
n=0

de n´meros complejos converge a un n´mero complejo S , llamado suma de la serie, si la sucesi´n
u
u
o
N

SN =

zn

(N = 0, 1, 2, . . . )

n=0

de sumas parciales converge a S ; entonces se escribe
∞

zn = S.
n=0

Teorema 5.2 Sean zn = xn + iyn (n = 0, 1, 2, . . . ) para xn y yn n´merosreales, y S = X + iY
u
para X y Y n´meros reales. Entonces,
u

∞

n=0

zn = S si, y s´lo si
o

∞

∞

xn = X
n=0

y

yn = Y.
n=0

u
Definici´n 5.3 (Serie de potencias) Dada una sucesi´n {zn }∞ de n´meros complejos, a la
o
o
n=0
serie
∞

an (z − z0 )n

(5.1)

n=0

se le llama serie de potencias. A los n´meros complejos an se les llama coeficientes de la serie;
u
z0 yz son n´meros complejos.
u
El siguiente teorema da una idea completa del campo de convergencia de las series de potencias.
Teorema 5.3 Sea α = lim

n→∞

n

|an |. Entonces, si α = ∞, la serie (5.1) es convergente en el unico
´

1
ı
punto z = z0 ; si 0 < α < ∞, la serie es absolutamente convergente en el c´rculo |z − z0 | < α y es
divergente en el exterior de este c´rculo; si α = 0,la serie es absolutamente convergente en todo
ı
el plano.

De este modo, cuando 0 < α < ∞, existe un c´
ırculo con el centro en el punto z = z0 , en
el interior del cual la serie (5.1) es absolutamente convergente y en el exterior del cual la serie
1
ı
es divergente. Este se llama c´rculo de convergencia de la serie de potencias y su radio R = α ,
radio de convergencia de la misma. Loscasos α = ∞, y α = 0 se pueden considerar como casos
l´
ımites. En el primero de ellos el c´
ırculo de convergencia se reduce a un punto z0 y su radio R
es igual a cero. En el segundo, el c´
ırculo de convergencia se extiende a todo el plano, de modo
que se puede considerar que su radio es igual a ∞. Llamando en los tres casos al n´mero R radio
u
de convergencia de la serie de p otencias,el contenido de la f´rmula de Cauchy-Hadamard puede
o
expresarse por la f´rmula
o
1
R= .
α

TEMA 5. SERIES DE POTENCIAS

3

Esta ultima se llama f´rmula de Cauchy-Hadamard. Para las aplicaciones de la f´rmula de Cachy´
o
o
Hadamard, en muchos casos suele ser util la relaci´n siguiente:
´
o
lim

n!
1
=.
n
n
e

n

n→∞

(5.2)

La demostraci´n de esta relaci´n se dejacomo ejercicio para el lector.
o
o
Ejemplo 5.2 Hallar el c´rculo y el radio de convergencia de la serie
ı
∞
n=1

Soluci´n. Los coeficientes an son iguales a
o

nn n
z.
n!

nn
n!

y z0 = 0. Utilizando la ecuaci´n (5.2) obtenemos
o

α = lim

n

n→∞

nn
= e,
n!

por lo tanto, el radio de convergencia de la serie es
R=

1
e

y el c´
ırculo de convergencia de la...