Series Numericas

Capítulo 8

Series numéricas
8.1. Definición y primeras propiedades
Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y comentarios en [A P O S TO L 1, cap. 10] y en [D U R Á N, pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente,
por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad
7
= 2, 333 . . .significa
3
7
3
3
3
= 2+ +
+
+...,
3
10 100 1000
3
, n ∈ N. En general, consideraremos una sucesión cual10n
∞
quiera (an ) y su suma ∑n=1 an . ¿Qué sentido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impone de
suma con infinitos sumandos de la forma
modo natural: ∑∞=1 an tiene que ser l´m
ı
n

m→∞

m

∑ an .

n=1

Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante lasucesión de sumandos (an ) una
nueva sucesión de sumas (sm ) dada por sm = a1 + a2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar el límite (si
existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:
lugar
término
suma

1
a1
a1

2
a2
a1 + a2

3
a3
a1 + a2 + a3

4
a4
a1 + a2 + a3 + a4

...
...
...

n
an
a1 + · · · + an

...
...
...

→?

Ahora bien: si, en definitiva, vamos a pararal estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué
novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto
de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an ), nos planteamos determinar propiedades
de la sucesión de sumas (sn ) basándonos en propiedades de los términos an . Pasemos a formalizar
estas ideas.

8.1.1.

Series: términos ysumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes

Definición 8.1.1. Una serie ∑∞=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (sn )) relacionadas por
n
la condición de que para cada n ∈ N es
sn = a1 + a2 + · · · + an .
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Capítulo 8. Series numéricas

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El término n-ésimo de la primera sucesión, an , recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el
término n-ésimode la segunda sucesión, sn , recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie.
Se dice que la serie ∑∞=1 an es convergente si la sucesión (sn ) de sus sumas parciales es convern
gente, es decir, si
m

∃ l´m sm = l´m ∑ an ∈ R.
ı
ı
m

m

n=1

Decimos que la serie
es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión de sus
sumas parciales es divergente a +∞, divergentea −∞ u oscilante, respectivamente.
Si una serie ∑∞=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesión de sus
n
sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente.
Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo símbolo que
la serie. Es decir, se escribe
∑∞=1 an
n

∞

m

n=1n=1

ım
∑ an = l´m ∑ an ,

cuando este límite existe.
Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma ∑∞=m an , donde m es un número entero: las
n
sumas parciales serán entonces s1 = am , s2 = am + am+1 ,. . . , sn = am + · · · + am+n−1 , . . .
Se utiliza también la notación am + am+1 + · · · + an + · · · en vez de ∑∞=m an y, cuando no da lugar
n
a confusión, se abrevia en ∑ an .Ejemplo. Una serie ∑∞=1 an es una serie geométrica si existe un r ∈ R tal que para todo n ∈ N es
n
an+1 = ran (o an+1 /an = r si a1 = 0); de otro modo, si es de la forma ∑∞=0 arn . Si sn es su suma parcial
n
n-ésima, se tendrá
n
a 1−rr si r = 1
1−
sn = a + ar + · · · + arn−1 =
.
an
si r = 1
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
∞

a) si |r| < 1, la serie

a

∑ arn esconvergente y la suma es 1 − r ;

n=0

b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);
c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas;
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo. La serie

∞

1

∑n

n=1

se llama serie armónica Se comprueba que, para cada n, su suma...