Series parte 1 (Analisis Matematico 1)

SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS
Series Numéricas:
Sabemos de que trata el concepto de suma, aplicable a un número finito de sumandos, en este
capítulo intentamos resolver el problema de sumar un número infinitos de términos.
Dada una sucesión de números reales {a n }nÎN tal que, {a n } = {a1 , a 2 , a3 , .......... , a n , .......}
formamos sus sumas parciales definidas como:
S1 = a1
S 2 =a1 + a 2
S 3 = a1 + a 2 + a 3
.................................................
S n = a1 + a 2 + a3 + ........... + a n
.................................................

A la sucesión formada por las sumas parciales de {a n } la denominamos “serie numérica” {S n },
siendo: {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , ................ , S n , ...........} , a los números a1 , a 2 , a3 , los llamamos
términos de laserie, y a S1 , S 2 , S 3 , sumas parciales de la serie estando ambos relacionados por
las expresiones anteriores.
En general una serie queda definida por las sumas parciales de la sucesión {a n } .
Para denotar una serie se suele utilizar la notación

¥

åa

n

, en la cual:

n =1

¥

åa

1

= a1 + a 2 + a 3 + ........... + a n + .......

n =1

Algunos autores denominan serie numérica a laexpresión anterior que tiene la ventaja de
recordarnos que queremos hacer a través del concepto de serie, esto es, sumar.
ì1 ü
como:
Definamos la “serie armónica” asociada a la sucesión armónica í ý
î n þ nÎN
¥
1
1 1 1
1
= 1 + + + + .......... + + .........
å
2 3 4
n
n =1 n
1 1
Los términos 1 , , , son términos de la serie y sus sumas parciales serán:
2 3
S1 = 1

1 3
=
2 2
1 1 11
S3 = 1 + + =
2 3 6
S2= 1 +

Luego la serie armónica

¥

1

ån

es en realidad la sucesión 1 ,

n =1

147

3 11
, , ........ , S n , ...
2 6

Si bien denotaremos siempre a los términos de la serie, no debemos olvidar su verdadera
constitución.
1
ì1 ü
Notemos que mientras la sucesión í ý es convergente, pues lim = 0 , la serie armónica será
n ®¥ n
în þ
divergente (luego lo demostraremos).
La cuestión de la convergenciade series numéricas, objetivo de nuestro estudio, queda resuelta
utilizando el criterio de convergencia de sucesiones dado que la serie es una sucesión de sumas;
para eso deberemos evaluar el resultado de lim S n .
n ®¥

Tomamos límite sobre el término general de la sucesión de sumas parciales y puede ocurrir que
el mismo sea finito, infinito o bien no existe.
· Si el límite es finito, la serienumérica {S n } será convergente, lim S n = S , y al resultado del
n ®¥

límite -S - lo conoceremos como suma de la serie.
Esto significa que si una serie numérica converge a S, la suma de los infinitos términos de la
sucesión {a n } que le da origen es el número real S.
Si la serie converge entonces diremos que la sucesión {a n } es sumable y lo podemos indicar
como

¥

åa

n

=S.

n =1

Haypropiedades de las sumas que no se conservan para las series, otras sí.
Propiedad:

Sean

¥

å an y
n =1

¥

åk a
n =1
¥

¥

åb

n

dos series convergentes, entonces:

n =1

¥

n

= k å a n , k Î Â es convergente.
n =1

¥

¥

n =1

n =1

å (a n + bn ) = å a n + å bn
n =1

·

es convergente.

Si el límite lim S n es infinito la serie numérica será divergente y la sucesión no es sumable.
n ®¥

Porejemplo

¥

å n 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + ........ + n 2 + ......... , la serie
n =1

{n } no es sumable.

¥

ån

2

es divergente y la sucesión

n =1

2

·

Si el límite lim S n no existe diremos que la serie es oscilante. La serie
n ®¥

¥

å (- 1)

n

es una serie

n =1

oscilante cuyas sumas parciales son 1 y 0.
Muchas veces es muy difícil encontrar la forma de Sn por lo tanto la determinación de laconvergencia de una serie puede ser un asunto complicado.
Es por esta razón que para resolver lo dicho se utilizarán criterios de convergencia que operan
sobre el término general de la sucesión que origina la serie, es decir sobre an , que es de fácil
localización.

148

Por ejemplo estudiemos la convergencia de la serie

¥

1

å n (n + 1)

y para ello efectuemos

n =1

fracciones simples sobre an y...