Series

Tema 2 : Series
Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como :  an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de unaserie.
 Convergente : Cuando la suma es un número real.
 Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
 Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

Suma de una serie geométrica. Sn =a + ar1 + ar2 + ar3 + .....+ arn-1 + arn + arn+1

• |R| < 1 Serie convergente
• R  -1 Serie oscilante
• R  1 Serie divergente

Propiedades generales de las series numéricas
1.  an = Sentonces  K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
Si  an es divergente no podemos saber nada.

2. Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de unaserie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.


Condición necesaria para la convergencia: Sea :  an Calculamos :
• Si k = 0 la serie convergeo diverge (Continuar el problema)
• Si k  0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos positivos

A. Teorema 1 :Toda serie de términos positivos esconvergente o divergente, pero nunca oscilante.
B. Teorema 2 : Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera el carácter de la serie,ni varía su suma.

1. Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :
• Si k < 1 la serie converge (Fin)
• Si k > 1 la serie diverge (Fin)
• Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con : ()n , ( )p(n)
2. Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :
• Si k < 1 la serie converge (Fin)
• Si k > 1 la serie diverge (Fin)
• Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con : kn , n! , Semifactoriales ( 1•3•5 • • • • • (2n+1)).
3. Criterio de Raabe. Calculamos :
• Si k < 1 la serie diverge (Fin).
• Si k > 1 la serie converge (Fin).
• Si k = 1 no sabemos (Continuar)....