Series

Series
Definición
Dada una sucesión an es posible formar una nueva sucesión Sn del siguiente modo:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
La sucesión Sn se llama serie y se denota por
+inf
Σn=1 an o simplemente Σ an
Los elementos a1, a2, a3, ..., an, ... de la sucesión original son lostérminos de la serie y S1, S2, S3, ..., Sn, ... se denominan las sumas parciales de la serie.
Una serie es una sucesión de sumas parciales.
Clasificación de una serie
* Si la sucesión Sn tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S se le llama suma de la serie.
* Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.
* Si Sn no tiene límite, se dice que la seriees oscilante.
Nota: Sn es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión an.
Propiedades de las series
Propiedad asociativa
En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada, sin que varíe el carácter ni la suma de la serie.

Nota:
a. La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.
b. La propiedad disociativa no es válida para seriesconvergentes o divergentes.
Propiedad distributiva
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H) Σ an converge y su suma es S
T) Σ kan converge y su suma es kS
Demostración:
Sn = Σ an
Tn = Σ kan
lim Sn = lim a0 + a1 + ... + an = S
lim Tn = lim ka0 + ka1 + ... + kan = lim k(a0 + a1 + ... + an) = kS
=> Σ kan converge y su suma es kS.
De manera análoga:
* Si Σ an diverge, Σ kan tambiéndiverge.
* Si Σ an es oscilante, Σ kan también es oscilante.
Propiedad aditiva
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H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente.
T) La serie Σ an+bn es convergente y su suma es S + T.
Demostración:
El término n-ésimo de la serie Σ an+bn es Sn + Tn
lim Sn + Tn = lim Sn + lim Tn = S + T (por límitede una suma de sucesiones)
=> Σ an+bn converge a S+T
Propiedad de linealidad
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H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.
T) La serie Σ kan+hbn es convergente y su suma es kS + hT.

Demostración:
Σ an converge a S => por la propiedad distributiva, Σ kan converge a kS
Σbn converge a T => por la propiedad distributiva, Σ hbn converge a hT
=> por la propiedad aditiva Σ kan+hbn converge a kS + hT
Teorema
Condición necesaria para la convergencia
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Es condición necesaria para que la serie Σ an sea convergente, que lim an = 0.

H) Sn = Σ an convergente
T) lim an = 0
Demostración:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 +an
Sn-1 = a1 + a2 + ... + an-1
an = Sn - Sn-1
Sn es convergente => lim Sn = lim Sn-1 = S
lim an = lim Sn - Sn-1 = S - S = 0
Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.
Contraejemplo: Σ 1/n es divergente aunque lim an=0
Definición
Serie geométrica
Aquella cuyos términos forman unaprogresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).
Si llamamos a al primer término y k a la constante,
Sn = a + ak + ak2 + ak3 + ... + akn-1 = Σ akn-1
Multipliquemos ambos miembros por k:
kSn = ak +ak2 + ak3 + ak4 + ... + akn = Σ akn
Restamos ambas ecuaciones:
Sn - kSn = a - akn
(a-akn)
Sn = -------(1-k)
a akn
Sn = --- - ---
1-k 1-k
Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geométrica converge.
Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf.
Para |k| = 1 la serie diverge pues Sn = na.
Para |k| = -1 la serie es oscilante.
D Osc C D D
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