Series

4.1 Definiciones
Una sucesión es un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada.
Por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 25
y 1,-x, , ,,
son sucesiones.
Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión.
Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series
1 + 4 + 9 + 16 + 25
y 1-x + +
Cuando el número de términos es limitado, se diceque la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una serie infinita.
El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

Un ejemplo de serie infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un término inicial multiplicado por unacantidad constante, por ejemplo:
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅, donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula.

















4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio deCauchy).

En la serie
= +++…+
la variable Sn es una función de n. Ahora bien, si hacemos que el número de términos (= n) tienda a infinito, puede ocurrir una de las dos cosas siguientes:
CASO l. Que S; tienda hacia un límite, digamos u; es decir, que:

En este caso se dice que la serie infinita es convergente y que converge al valor u, o que tiene el valor u.

CASO II. Que Sn no tienda hacianingún límite. En este caso se dice que la serie infinita es divergente.


Teoremas.-
Teorema 1. Si Sn es una variable que siempre aumenta cuando n aumenta, pero sin llegar nunca a ser mayor que algún número fijo definido A, entonces, cuando n tiende a infinito, Sn tendrá un límite u no mayor que A.

Teorema 2. Si Sn es una. variable que siempre disminuye cuando n aumenta, pero sin llegarnunca a ser menor que algún número fijo definido B, entonces, cuando n tiende a infinito, Sn tenderá hacia un límite u no menor que B.

Criterios de comparación. En muchos casos es fácil determinar si una serie dada es o no convergente, comparándola, término a término, con otra serie cuyo carácter se conoce.

-Criterio de convergencia.
Sea
+++… (1)
una serie de términos positivos quedeseamos saber si es o no convergente.
Si se puede encontrar una serie de términos positivos que sepamos de antemano que es convergente, a saber,
+++… (2)
Cuyos términos no sean nunca menores que los términos correspondientes de la serie dada, entonces la serie es convergente y su valor no excede al de la serie 2.

-Criterio de Divergencia
Sea
+++… (3)
Una serie de términos positivos quedeseamos saber si es o no convergente. Si estos términos no son nunca menores que los términos correspondientes de una serie de términos positivos tal como
+++… (4)
De la cual se sabe de antemano que es divergente, entonces (4) es una serie divergente

-Criterio de D’Alembert (Criterio de la Razón)
a+ar++…+++…
la razón de los términos consecutivos y es r. Sabemos que esta serie esconvergente cuando |r|0. Y supongamos que existe
, siendo
Entonces, si:
L1, la serie es divergente
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión
































4.3.-Series de Potencias
Sea una sucesión de números reales cualquiera. Una serie depotencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .
Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.
Por ejemplo,

son series de potencias centradas en 0, 1 y -2, respectivamente.
Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la...