Shalala

Capítulo 8
Ecuaciones diferenciales ordinarias
8.1.

Introducción

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n de una función y(x) es una ecuación de la
forma
F (x, y(x), y (x), y (x), . . . , y(n) ) = 0
donde F es una función de la que se requiere que sea continua y derivable. Si es posible, se
despeja la derivada de orden más alto y se expresa de la forma
y(n) = f (x, y, y , y ,y(n−1) )

(8.1)

El problema puede ser extremadamente complejo en el caso general. En lo que sigue, vamos a
considerar esencialmente ecuaciones diferenciales de primer orden
y (x) = f (x, y(x))
y sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aunque parezca un problema excesivamente restringido, es suficientemente general para resolver la mayor parte de los problemas
que se presentanen el ámbito científico y técnico. De hecho, cualquier ecuación diferencial de
orden n, expresada en la forma de la Ec.. 8.1, se puede reducir a un sistema de n ecuaciones
diferenciales de primer orden. Para ello, hacemos el siguiente cambio de variables:
y1 = y, y2 = y , . . . , yn = y(n−1)
con lo que obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales:
143

144

CAPÍTULO 8. ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

d y1 (x)
= y2 (x)
dx
d y2 (x)
= y3 (x)
(8.2)
dx
d y3 (x)
= y4 (x)
dx
.
.
.
d yn (x)
= f (x, y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x))
dx
Utilizaremos este procedimiento para resolver las ecuaciones diferenciales de segundo orden
que aparecen usualmente en los problemas dinámicos de la Física.
En este capítulo, vamos a considerar únicamente problemas en los que seespecifican condiciones de contorno iniciales, es decir, damos un punto inicial x0 y los valores de la función y(x)
(n−1)
y sus n − 1 primeras derivadas en dicho punto, que denotamos por y0 , y0 , . . . , y0
, y deseamos
obtener y(x) a partir de x0 , sea en sentido positivo o negativo. Obtendremos la solución y y sus
derivadas en una red de N puntos, yk = y0 + k ∗ h, k = 0, 1, . . . , N , donde hes el paso de integración, que se elige de acuerdo con la precisión requerida. Los diferentes métodos de integración se
caracterizan por un término de error de la forma O(hm ) y por el número de operaciones necesarias para realizar un paso de integración. Para un determinado método de integración, la precisión
aumenta cuando h disminuye. En general, desearemos obtener la solución y(x) en unintervalo
[x0 , x f ], con una precisión requerida, que determinará el paso de integración h que deberemos
x f − x0
empleart, con lo que el número de puntos de la red vendrá dado por N =
+ 1. Vamos a
h
considerar en lo que sigue la solución de una ecuación diferencial de primer orden,
y (x) = f (x, y(x))
y discutiremos algunos ejemplos en los que se resuelven ecuaciones de orden superiorreduciéndolas a sistemas de primer orden.

8.2.

Métodos tradicionales de resolución de las ecuaciones de
la dinámica

Desde que Newton creo su teoria de la dinámica, ha existido un gran interés en la resolución
numérica de estas ecuaciones, principalmente aplicada a problemas de Astronomía. Las ecuaciones de Newton se planteaban como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer ordenpara los vectores velocidad v y posición r:
d r(t )
= v(t )
dt
d v(t )
F(r, v, t )
=
dt
m

8.2. MÉTODOS TRADICIONALES DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA DINÁMICA145
La resolución de estas ecuaciones diferenciales se llevaba a cabo rremplazando las derivadas por cocientes incrementales (diferencias finitas), con un paso temporal !t = τ conveniente
de forma que la solución numéricase obtenga con la resolución requerida. Las formas usuales
empleadas eran las diferencias hacia adelante
d f (t )
f (t + τ ) − f (t ) 1
=
− τ f (t ) + O(τ 2 )
dt
τ
2
las diferencias hacia atrás
d f (t )
f (t ) − f (t − τ ) 1
=
+ τ f (t ) + O(τ 2 )
dt
τ
2
y las diferencias centrales de primer y segundo orden
d f (t )
f (t + τ ) − f (t − τ ) 1 2
=
− τ f (t ) + O(τ 3 )
dt
2τ...