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1.) REGLA DE L' HOSPITAL.
DEFINICION:
La regla de L' HOSPITAL recibe su nombre en honor al famoso matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmentese sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo (0/0).
La regla de L'Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cerocuando x tiende a c entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).

DEMOSTRACION:
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para sudemostración
* Lo primero es suponer que el Lim x->b f(x)= 0 y el Lim x->b g(x)= 0.

* Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
{}
Demostraremos que 

Entonces F es continua en I porque la funcion lo es cuando x pertenece a I aunque no lo es cuando x = b y

Igualmente, G es continua en I cuando x pertenece a I y x > a.Esto quiere decir que F y G son continuas en el intervalo [a, x] y tambien son derivables en [a, x] y G!= 0 esto es porque F' = f' y

G' = g'. Entonces existe un número tal que {b < y < x} y
Sabemos que por definición F(a) = 0 y G(a) = 0. Ahora con x->a y y->a porque a<y<x, así que:
De esta manera demostramos la regla de l'Hospital en caso de que b es finita.
En pocaspalabras, es la derivada del numerador (en este caso con respecto de x) dividido la derivada del denominador (con respecto de x en este caso). Esto se hace para simplificar mejor la función f(x) y g(x) cuando queda una forma indeterminada, ya que usando lopital se puede llegar a una forma determinada para verificar si converge o diverge.
* Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto,utilizando la definición de derivada:

EJEMPLOS:
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; ósea sean las funciones originales f(x)/g(x) al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicando la definición serealiza
 

TEOREMA DE ROLLE
DEFINICION:
El teorema de Rolle dice que: Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f (b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.
EJEMPLO:

DEMOSTRACION:
• Si f(x) = 0 “x “< a, b> [constante], entonces cualquier c “< a, b > es válido pues f `© = 0 para todo c “< a, b >.
• Si f (xo) > 0 para algúnxo “< a, b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c “[a, b]:
F© = máx. ( f(x) / x € [a , b] , pero como f© “ f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c “ a y c “ b; así, c “ < a , b >. Y como f satisface en < a, b > entonces f  © = 0.
• Si f (xo) < 0 para algún xo “< a, b >, f alcanza su MINIMO en algún punto ““[a, b]:
F© “ f (xo) < 0! c “ b! c “< a, b >; y comof satisface en <a, b > entonces: f `© = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)

TEOREMA DE LAGRANGE
DEFINICION:
Este teorema nos indica que si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces el Teorema de LaGrange establece que el orden de H es un divisor del orden de G. Este resultado genera una serie de propiedades interesantes de los grupos ¯nitos de tipo estructural. Finalizamos el...