sistemas de control

ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
2.1 Variables separables
2.2 Ecuaciones exactas
2.3 Ecuaciones lineales
2.4 Soluciones por sustitución
Ejercicios de repaso

‘0)
-Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las de
primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de ecuación. A
través de los años, los matemáticos han tratado deresolver muchas ecuaciones
especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que funciona bien con
un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se aplica a otros. En este
capítulo nos concentraremos en tres tipos de ecuaciones de primer orden.

36

I

sección

VARIABLES
n
n

2.1 Variables separables 3’7

SEPARABLES

Solución por integración n Definición de unaecuación diferencial separable
Método de solución n Pérdida de una solución n Formas alternativas

Con frecuencia, para resolver las ecuaciones dikrenciales se tendrá que integrar y quizá la integración
requiera alguna técnica especial. Convendrá emplear algunos minutos en un repaso del texto de
cálculo, o si se dispone de un SAC {sistema algebraico de computación: computer algebra sysfem),repasar la sintaxis de los comandos para llevar a cabo las integraciones básicas por partes o
fracciones parciales.

Solución por integración Comenzaremos nuestro estudio de la metodología para resolver ecuaciones de primer orden, dy/dx =f(x, y), con la más sencilla de todas las ecuaciones
diferenciales. Cuandofes independiente de la variable y -esto es, cuandof(x, y) = g(x)- la
ecuacióndiferencial

se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de
(1) se llega a la solución
y =

f

g(x) dx = G(x) + c,

en donde G(x) es una antiderivada (o integral indefinida) de g(x); por ejemplo,
Si

dY = 1 + e2x entonces
z

y=

f

(1 + ezx) dx = x + i e21 + c.

La ecuación (l), y su método de solución, no son más que un caso especialen quef, en
dyldx =f(x, y) es un producto de una función de x por una función dey.

38

CAPíTULO

2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Obsérvese que al dividir entre la función he), una ecuación separable se puede escribir en la
forma

P(Y) g = g(x),

(2)

donde, por comodidad,p(y) representa a l/h(y). Así podemos ver de inmediato que la ecuación
(2) se reduce a laecuación (1) cuando h(y) = 1.
Ahora bien, si y = 4 (x) representa una solución de (2), se debe cumplir

Pero dy = +‘(x) dx, de modo que la ecuación (3) es lo mismo que
J-PWdY = J-&)~

en donde H(y) y G(x) son antiderivadas

H(y) = G(x) + c,

0

(4)

de p(y) = l/h(y) y de g(x), respectivamente.

Método de solución La ecuación (4) indica el procedimiento para resolver las ecuacionesseparables. Al integrar ambos lados dep(y) dy = g(x) u!x se obtiene una familia monoparamétrica de soluciones, que casi siempre se expresa de manera implícita.

Na

hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si
escribimos Z-I(~) + CI = G(X) + ~2, la diferencia c2 - CI se puede reemplazar con una sola constante c,
como en la ecuación (4). En muchos casosde los capítulos siguientes, sustituiremos las constantes en
la forma más conveniente para determinada ecuación; por ejemplo, a veces se pueden reemplazar
los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante.

W~ción de una ecuación direncial

separable

Resolver (1 + x) dy -y a!x = 0.
SOLUCIÓN

Dividimos entre (1 + x)y y escribimos dyly = Q!x/( 1 + x), de donde

lnjyl = InI1 + XI + cl
y = elnll+xl+c,
= elnll+xl

. &

= Il + x(&
= 2 ecl(l + x).

t leyes de los exponentes

)l+xl=-(l+x),x= 1 1,
o

x>3
01x53 7 Y(O) = 0

52. $+y=f(x),

f(x)={m;y

y,

Y(O) = 1

f(x)={;3

y,

Y(O) = 2

53. g+2xy=f(x),

01x 0.
56. Demuestre que la solución del problema de valor inicial
dr
-&-2xy=

-1,

VG
Y(O) = 2

es y = $/2)8’...