Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales solución y gráfica.
Ecuación Lineal
Una ecuación lineal de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son constantes reales tales que A y B no son cero, recibe el nombre de lineal.
Ejemplos:
1. 2x-3y-4=0, es una ecuación lineal con A=2, B=-3 y C=-4
2. -5x+4y=0, es una ecuación lineal con: A=-5, B=4 y C=0
3. X+2=0, es una ecuación lineal con: A=1, B=0 y C=2
4. 2y-3=0, es unaecuación lineal con: A=0, B=2 y C=-3

Una ecuación que se puede escribir de la forma Ax+By+C=0 también es lineal.
Ejemplos
1. Dada la ecuación 2x=5y-6, también se puede escribir de la forma: 2x-5y+6=0
2. Para que la ecuación tenga la forma Ax+By+C=0, se eliminan los denominadores al multiplicar por 4 cada termino del a igualdad:

Al realizar las operaciones se transforma en 10x-3y=8finalmente:
10x-3y-8=0
3. La ecuación , se puede escribir de la forma: Ax+By+C=0, al realizar el producto indicado, eliminar denominadores y simplificar:






Por tanto, la ecuación se transforma en:

4. La ecuación al multiplicarla por 3 se obtiene 3y=5x-6, por consiguiente se puede escribir como: 5x-3y-6=0

Solución de una ecuación lineal

Una ecuación lineal tiene como conjuntosolución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales.

Ejemplos:

1. Verificar si los pares ordenados (1,-4), (2,-10/3), (1/2,-3/4), son soluciones de la ecuación 2x-3y-14=0.

Solución
Se sustituye cada par ordenado en la ecuación:

Para (1,-4)




Por lo tanto, el par ordenado (1,-4), es solución.

Para (2,-10/3)





Porconsiguiente, el par ordenado (2,-10/3) es solución.

Para (1/2,-3/4)





Entonces, el par ordenado (1/2,-3/4) no es solución.

Gráfica
La gráfica de una ecuación lineal Ax+By+C=0, es una recta que forman los puntos de su conjunto solución:

Ejemplos:
1. ¿Cuál es la grafica de la ecuación 2x-3y+7=0?

Para obtener la grafica, basta con conocer dos puntos de la recta, para lo cual sesustituyen dos valores arbitrarios para x o y en la ecuación, y con esto se obtienen los dos puntos que se requieren.

Sea x=-2, se sustituye y se despeja y:








Por lo tanto, el punto es (-2,1)

Sea x=1, se sustituye y se despeja y:









Por consiguiente el punto es (1,3)
Por ultimo se localizan los puntos en el plano y se traza una recta sobre ellos


Otra forma degraficar Ax+By+C=0, es transformarla a la forma y=mx+b

Ejemplo:

Grafica la ecuación 3x-4y-12=0

Se despeja y en la ecuación para expresarla en la forma y=mx+b






Los valores respectivos de la pendiente y ordenada al origen son: m=3/4 y b=-3



Sistemas de ecuaciones con dos variables
Se ha visto que el conjunto solución de la ecuación Ax+By+C=0, son todos los pares ordenados(x,y) que satisfacen la ecuación.
En un sistema de dos ecuaciones con dos variables, que tiene la forma:

El conjunto solución la forman todos los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones.
Cada ecuación representa una recata en el plano, entonces, se pueden presentar tres casos:
1. Las rectas se intersecan en un punto. Las rectas solo coinciden en un punto, por lo tanto, se dice que elsistema tiene una solución.


La solución es el punto donde se intersecan las rectas, en este caso (2,1)

2. Las rectas sin coincidentes. Dos ecuaciones representan rectas coincidentes si al multiplicar una de ellas por un numero real k, se obtiene la otra. En un sistema de rectas coincidentes el conjunto solución es infinito, es decir, el conjunto solución son todos los puntos de las rectas.Las rectas coinciden en todos sus puntos, por lo tanto, el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones, se observa que si multiplicamos la ecuación x-2y=6, por 3, se obtiene la otra ecuación.
3. Las rectas son paralelas. En este caso las rectas no tienen ningún punto en común, por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Al graficar las rectas se observa que son paralelas, es...