sistemas logicos

Sistemas lógicos deductivos: el sistema At
Ya vimos anteriormente que una teoría lógica puede definirse de dos maneras:
1) semánticamente (como el conjunto de tautologías que se engendran en un dominio de valores
de verdad en virtud: 1º, del otorgamiento de la calidad de valor designado a determinados
valores pertenecientes al dominio; y 2º, de ciertas asignaciones de valores de verdad);
2)sintácticamente: estableciendo un conjunto enumerable de axiomas, más determinada(s)
regla(s) de inferencia, mediante la(s) cual(es) se pueden obtener otros teoremas que no son
axiomas.
En este capítulo vamos a estudiar sistemas definidos sintácticamente. A esos sistemas
los llamaremos: sistemas lógicos deductivos. Lo que aquí nos interesa, pues, es la deducción
de teoremas a partir de otrosteoremas —y, en última instancia, a partir de axiomas—, mediante
reglas de inferencia; y también estudiaremos cómo se pueden derivar ciertas reglas de inferencia
a partir de otras —y, en última instancia, a partir de reglas de inferencia primitivas, con la ayuda
de teoremas.
At es un sistema trivalente, si bien no es un sistema completo; el conjunto de los teoremas
de At es un subconjuntopropio del conjunto de las tautologías de A3
. (Podemos transformar
At en un conjunto completo —tal que el conjunto de sus teoremas coincida con el conjunto
de las tautologías de A3— sustituyendo el miembro conyuntivo izquierdo del axioma A13 de
At—vide infra— por la fórmula qIqIpISp . Pero esa transformación no ofrece demasiado interés,
toda vez que, de hacerla, ya no tendríamos el resultadoapetecido de que el sistema Ap —del
que se hablará en seguida— sea una extensión de At).
Emplearemos siempre las letras ‘p’, ‘q’, ‘r’ etc. como letras esquemáticas.
Lecturas de signos a emplear
Conviene recordar, ante todo, las lecturas de los signos a emplear —unos como primitivos,
otros como definidos— en la exposición de At y Ap. En cada caso, escribimos a la izquierda
la notación simbólica,y a la derecha su lectura en lengua natural.
Np : «No sucede que p» ≈ «Sucede que no-p» ≈ «No es cierto que p» ≈ «Es falso que p»
≈ «No-p»;
¬p : «Es enteramente falso que p» ≈ «No es cierto en absoluto que p» ≈ «Es cien por cien
falso que p»≈ «Es totalmente falso que p» ≈ «Es plenamente falso que p» ≈ «No sucede
en absoluto que p» ≈ «Es enteramente cierto que no-p», etc.;
Sp : «No es nicierto ni falso que p» ≈ «Es cierto y falso a la vez que p» ≈ «Sucede y no
sucede que p» ≈ «Sucede que p y que no-p» ≈ «Ni sucede ni deja de suceder que p».
Lp : «Es más o menos cierto que p» ≈ «Es, por lo menos hasta cierto punto, verdad que p»
≈ «Sucede, por lo menos en alguna medida, que p»;
Yp : «Es un sí es no cierto que p» ≈ «Es infinitesimalmente cierto que p»;
fp : «Es más queinfinitesimalmente cierto que p» ≈ «Es un tanto cierto que p»;
np : «Es supercierto que p»;
mp : «Viene a ser cierto que p»;
p∧q : «p y q»;
p∨q : «p o q» ≈ «p y/o q»;
p•q : «No sólo p, sino que también q» ≈ «p así como también q»;
pIq : «p en la misma medida en que q» ≈ «Es cierto que p en la misma medida en que lo
es que q» ≈ «El hecho de que p equivale al hecho de que q»;Lorenzo Peña. Introducción a laslógicas no-clásicas. ISBN 968-36-3451-6 61
p→q : «Sucede que p a lo sumo en la medida en que sucede que q» ≈ «El hecho de que
p implica el hecho de que q» ≈ «[Por lo menos] en tanto en cuanto es [o sea] verdad que
p, q»;
p\q : «Es menos cierto que p que (que) q» ≈ «Es más cierto que q que (que) p»;
p⊃q : «p sólo si q» ≈ «Sucede que p con tal de que también suceda que q» ≈ «Si p, entonces
q»≈ «El hecho de que p entraña el hecho de que q»;
p≡q : «p ssi q» ≈ «El hecho de que p y el hecho de que q se entrañan mutuamente;
Hp : «Es enteramente cierto que p» ≈ «Es ciento por ciento verdad que p» ≈ «Es plenamente
(cabalmente, completamente) cierto que p»;
p&q : «Sucediendo que p, q» ≈ «p y, sobre todo, q»;
p√q : «Es cabalmente cierto que p, a menos que q»;
—p : «Es más o menos...