Sistemas No Lineales

Sistemas No Lineales

Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2011

Sistemas No Lineales

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1. Concepto de Sistema de ecuaciones no lineales.
Concepto:
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una
de sus ecuaciones no es de primer grado.

x 2 + y 2 = 25
x+ y =7

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2. Solución pormétodo de sustitución.
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método
de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,
preferentemente en la de primer grado.
2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en laotra
ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la
otra incógnita.

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2. Solución por método de sustitución.
Ilustraremos el método con un ejemplo, resolveremos el sistema
mostrado inicialmente:
2

2

x + y = 25
x+ y =7
1. Se despeja una incógnita
en una de las ecuaciones,
preferentemente en la de
primer grado.

y =7−x

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2. Solución por método de sustitución.
2. Se sustituye el valor de la
incógnita despejada en la
otra ecuación.
3. Se resuelve la ecuación
resultante.

x 2 + (7 − x ) = 25
2

x 2 + 49 − 14 x + x 2 = 25
2 x 2 − 14 x + 24 = 0
x 2 − 7 x + 12 = 0
7 ± 49 − 48 7 ± 1
=
x=
2
2
x1 = 4
x2 = 3

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2. Solución por método desustitución.
4. Cada uno de los valores
obtenidos se sustituye en la
otra ecuación, se obtienen
así los valores
correspondientes de la
otra incógnita.

x1 = 3
y = 7 − (3)
y1 = 4
x2 = 4
y = 7 − ( 4)
y2 = 3

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3. Solución por método de eliminación.
En el siguiente ejemplo usaremos el método de eliminación
para resolver el sistema no lineal.

 x 2 + y 2 = 13
2
2
x
−
y
=5

Es claro que si sumamos las dos ecuaciones obtenemos que
2 x 2 = 18, simplificando obtenemos que x 2 = 9 ⇒ x = ±3 .
Considerando el hecho de que x 2 = 9 , podemos sustituir en
cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la primera y
2
llegamos a la expresión y = 4 de la que se desprende que
y = ±2 .

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3. Solución por método deeliminación.
De tal forma, que la solución al sistema no lineal anterior está
dada por el conjunto solución:

{(3,2) , (3,−2) , (−3,2) , (−3,−2)}
Puede verificar la solución al sustituir cada par ordenado en
las ecuaciones del sistema.

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4. Representación gráfica de la solución de un
sistema no lineal.
El siguiente ejemplo lo resolveremos analíticamentey
daremos una ilustración gráfica de la solución.

 x 2 + y 2 = 16

2
y
=
4
−
x

Tal como está el sistema , se antoja sustituir de inmediato la
variable y en la primera ecuación, pero es más conveniente
2
despejar x = 4 − y .
De esta manera al sustituir en la primera de las ecuaciones
obtenemos (4 − y ) + y 2 = 16 , pasando todo al lado izquierdo
y ordenando obtenemos la siguiente ecuacióncuadrática
y 2 − y − 12 = 0 .

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4. Representación gráfica de la solución de un
sistema no lineal.
Si factorizamos el lado izquierdo , la ecuación queda de la
siguiente manera ( y − 4)( y + 3) = 0 , de lo cual obtenemos que
y = 4 o y = −3.
En consecuencia obtenemos el conjunto solución

{(

)(

)

7 ,−3 , − 7 ,−3 , (0,4)

}

Meditando un poquito, hemosencontrado los puntos en los
que la circunferencia x 2 + y 2 = 16 se cruza con la parábola
y = 4 − x 2. Ver figura 1.

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4. Representación gráfica de la solución de un
sistema no lineal.
4

3

2

1

x
−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

Figura 1. Sistema no lineal que consiste en la ecuación de
una circunferencia y de una parábola....