sistemas

Álgebra de Boole
Definición axiomática
El álgebra de Boole es un Sistema Matemático consistente en un conjunto de elementos (B) y dos operaciones matemáticas (+ y  ) que cumple los siguientes postulados:
Postulados de Huntington
p1: Postulado del cierre: Si x, y  B
(a) x + y  B
(b) x  y  B
p2 : Postulado de los elementos de identidad: para x  B
(a)  un elemento deidentidad con respecto al operador + denominado elemento nulo es designado por el símbolo 0 y cumple: x + 0 = 0 + x = x
(b)  un elemento de identidad con respecto al operador  denominado elemento unidad es designado por el símbolo 1 y cumple : x1 = 1x = x
p3 : Propiedad conmutativa:  x,y  B
(a) x+y = y+x
(b) xy = yx
p4 : Propiedad distributiva:  x,y,z  B
(a) x(y+z) = xy + xz
(b)x+(yz) = (x+y)  (x+z)
p5 : Axiomas del complemento:  x B  x’  B que cumple:
(a) x + x’ = 1
(b) x  x’ = 0
Álgebra de Boole.
Teoremas
T0: Principio de dualidad: cada teorema deducible de los postulados de un álgebra booleana puede transformarse en un segundo teorema válido sin más que intercambiar las operaciones + y  entre sí, así como los elementos 0 y 1.
T1 : Teorema deidempotencia (a) x + x = x (b) x · x = x (b es la dual de a)
T2 : Teorema de los elementos dominantes (a) x + 1 = 1 (b) x · 0 = 0 (b es la dual de a)
T3 : Ley involutiva (x’)’ = x
T4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x
T5 : Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y (b) x · (x’+y) = xy
T3 : Ley involutiva (x’)’ = x
T4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x
T5 :Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y Dem: x + x’y = (x + x’) · (x + y) = 1 · (x + y) = x + y (b) x · (x’+y) = xy
Teorema del consenso generalizado
(a) xy + x’z + yz = xy + x’z
Dem:
xy + x’z + yz =
xy + x’z + yz1 =
xy + x’z + yz(x + x’) =
xy + x’z + xyz + x’yz =
xy + xyz + x’z + x’yz =
xy + x’z
(b) x · (x’+y) = xy
T6 : Teorema asociativo (a) x+(y+z)= (x+y)+z (b) x(yz)=(xy)z
T7 : Leyes de DeMorgan (a) (x+y)’ = x’y’
(b) (xy)’ = x’ + y’
TEOREMAS
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas yproduce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce unsolo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) paratodos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en elsiguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B,...