Sistemas

Sistema Masa–Resorte–Amortiguador:
A continuaci´on estudiaremos la din´
amica de un sistema compuesto por una
Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual est´
a unida
a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la
figura. El resorte tiene constante el´astica k y largo natural ℓ0 , en tanto que el
amortiguador tiene coeficiente de roce viscosoc. Llamemos x a la posici´on de
la masa M medida desde la pared. Sobre la masa act´
uan solo dos fuerzas en la
direcci´on horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador.
Para peque˜
nos desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que
ejerce el resorte sobre la masa est´
a dada por
Fres = −k(x − ℓ0 ),

(1)

en tanto que la fuerza que ejerce el amortiguadorest´
a dada por
Fam = −cx.
˙

(2)

As´ı, la ecuaci´
on de Newton para la masa M est´
a dada por
Mx
¨ = −k(x − ℓ0 ) − cx.
˙

(3)

En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al
equilibrio est´
atico. Para ello, primero determinamos la posici´on de equilibrio
est´
atico, caracterizada por las condiciones x˙ = 0 (i.e., el sistema est´
a en reposo)
y Ftot = 0, i.e., −k(x− ℓ0 ) − cx˙ = 0. Imponiendo estas dos condiciones,
encontramos de inmediato que la posici´on de equilibrio est´
a dada por
xeq = ℓ0 .

(4)

Nuestro inter´es es determinar las peque˜
nas oscilaciones de la masa M con respecto a la posici´on de equilibrio, para lo cual es conveniente hacer un cambio
de variables. As´ı, intrducimos s ≡ x − xeq = x − ℓ0 . De aqu´ı obtenemos de
inmediato que x˙ = s˙y x
¨ = s¨. Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos
la siguiente ecuaci´
on para la variable s(t),
M s¨ + cs˙ + k s = 0.

(5)

Esta ecuaci´
on para s es una ecuaci´
on diferencial lineal de segundo orden para
s(t).
Con el objeto de determinar la evoluci´on del sistema, no solo necesitamos
la ecuaci´
on (5), sino que adem´
as debemos conocer el estado inicial del sistema,
i.e., la posici´ony la velocidad inicial de la masa M , tal como hemos enfatizado
en cap´ıtulos anteriores. En resumen, queremos determinar el comportamiento
de la soluci´
on s(t) de (5) dados los valores iniciales para s(0) y s(0).
˙
Para
ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida por Leonardo Euler
(1706–1783) (ver, e.g., [1]). Recordemos que la funci´on exponencial et juega
un papel fundamentalen c´alculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e.,
det /dt = et . Usando la regla de la cadena, vemos as´ı mismo que dept /dt = pet y
d2 ept /dt2 = p2 et (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos
una soluci´
on de la forma
s(t) = ept
(6)

1

para la ecuaci´
on (5). Usando las propiedades de la funci´on exponencial que
acabamos de describir, vemos que (6) es soluci´
onde (5) siempre que tengamos
(M p2 + cp + k)ept = 0

(7)

para todo t. Como ept > 0, la condici´
on anterior implica que p debe ser una
soluci´
on de la ecuaci´
on de segundo grado
M p2 + cp + k = 0,

(8)

cuyas soluciones est´
an dadas por
p1,2 = −

c
±
2M

c2
k
−
.
2
4M
M

(9)

El tipo de soluciones de la ecuaci´
on (8) depende de los valores relativos de los
par´
ametros del sistema, M , k y c.Vamos a distingir cuatro casos, los cuales
analizaremos separadamente mas adelante:
i) c2 /(4M k) > 1: en este caso (8) tiene dos soluciones reales negativas distintas,
p1 < p2 < 0.
ii) c2 /(4M k) = 1: en este caso (8) tiene una soluci´
on real negativa (repetida),
i.e., p1 = p2 < 0.
iii) c2 /(4M k) < 1: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas. Ambas tienen parte realnegativa −c/(2M ).
iv) c = 0: en este caso (8) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e.,
p1,2 = ±i k/M .
Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas p1 y p2 de (8). De
este modo, usando la estrategia de Euler, hemos obtenido dos soluciones
s1 (t) = ep1 t ,
y
s2 (t) = ep2 t
de la ecuaci´
on diferencial (5). Como la ecuaci´
on (5) es lineal, uno puede comprobar de inmediato...