Solución numérica de ecuaciones

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES

Dr. Ing. Aldo Luis Caballero – MSc. Ing. Corina Feltan

Generalidades
En muchos problemas de ingeniería es necesario resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0. Si esta ecuación es relativamente simple no hay mayores inconvenientes para encontrar sus raíces por métodos analíticos, puesto que es factible hallar una expresión general explícita para lasmismas. Un ejemplo es el caso de la ecuación cuadrática para la que, como es conocido, existe una expresión bien definida que relaciona las raíces con los coeficientes de la ecuación . Sin embargo, si la función en cuestión es un poco más compleja puede no existir un método analítico adecuado para resolverla.
Por ejemplo, la ecuación de la catenaria es:

Donde c es la ordenada del punto dela curva más cercano al eje de abscisas.
Si se requiere calcular c para que se verifique la condición y 20 cuando x 10 se hace necesario resolver la ecuación:

Que no tiene solución analítica.
Situaciones de este tipo son muy frecuentes en los problemas de modelación matemática, por lo que se han desarrollado varios métodos numéricos para resolver ecuaciones. Aquí se presentan tresde ellos.

Método de la bisección
Se trata de un método simple y seguro para encontrar la raíz de una ecuación en un intervalo determinado, dentro del cual se sabe que ella existe.
Considérese la ecuación f(x) 0, que tiene una sola raíz en el intervalo [a1 b1] dentro del cual es continua y tal que el signo de f(a1) es diferente del signo de f(b1), esto es f(a1)f(b1) 0. El método de labisección permite calcular dicha raíz.
Tal como lo indica su nombre, el método consiste en bisectar el intervalo [a1 b1] en dos mitades iguales [a1 x1] y [x1 b1]. Es decir:

Luego se verifican los signos de f(a1)f(x1) y f(b1)f(x1), se localiza el intervalo que contiene la raíz y se desecha una de las dos mitades. Así si f(a1)f(x1) 0, es el intervalo [a1 x1] el que tiene la raíz; en casocontrario, la misma se encontrará en el intervalo [x1 b1]. Una vez identificado el intervalo que contiene a la raíz, se repite el procedimiento para el mismo; es decir, se lo vuelve a subdividir a la mitad, se localiza la parte dentro de la cual está la raíz buscada, y así sucesivamente. Es decir:

El procedimiento se muestra gráficamente en la figura 1. En ella puede observarse como elvalor de xk se aproxima a la raíz a medida que crece k.
Un criterio para limitar el número de aproximaciones a efectuar, esto es el valor n hasta el cual debe llegar k, es acotar el error admisible. En realidad, el error no puede determinarse, puesto que el valor verdadero es desconocido. Sin embargo, puede calcularse la diferencia relativa entre los valores que resultan de las iteracionessucesivas y ésta, en cada nueva aproximación, se acerca al error. Por lo tanto, un criterio razonable para limitar el número de aproximaciones es adoptar un valor lo suficientemente pequeño para la magnitud de la diferencia relativa entre aproximaciones sucesivas; entonces, si con ead se designa al valor admisible para dicha diferencia.
En virtud de la descripción precedente, el algoritmo paraaplicar el método puede escribirse como:
(1)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)

(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
En otras palabras, mediante este método se realizan aproximaciones sucesivas de modo que en cada paso se obtiene una mejor aproximación a la raíz buscada. La condición de convergencia del método de la bisección es:
(2)
Una delas ventajas de este método es que se puede determinar de antemano el número de iteraciones k que será necesario realizar para alcanzar la exactitud deseada. Efectivamente, el tamaño del intervalo después de k pasos de la iteración es:

Donde b1 a1 es el tamaño del intervalo inicial. La expresión anterior representa el máximo error posible, por lo tanto si la tolerancia está dada por...