Solucion Practica5

Matemáticas para gerentes

SOLUCIÓN PRÁCTICA 5
Tema 5: Integración
Giselle Sosa Jones

Oswaldo Jiménez

Pregunta 1
ˆ
3
b) x2 x2 + 1 xdx
Solución
Intentamos resolver la integral por sustitución. Hacemos el cambio de variable u = x2 + 1. Calculamos la derivada de
u: du = 2xdx. Notemos que en la integral podemos escribir el término x2 despejándolo del cambio de variable. Es decir,
1
u = x2 + 1 ⇒ x2= u − 1. El término restante en la integral sería xdx. Como du = 2xdx entonces xdx = du. Sustituyendo
2
todos estos términos en la integral, tenemos que:
ˆ
ˆ
ˆ
1
1 u5 u4
1
3
u4 − u3 du =
−
+c
x2 x2 + 1 xdx = (u − 1) u3 du =
2
2
2 5
4
Devolviendo el cambio de variable u = x2 + 1, tenemos que la integral resultante es:
ˆ

3

x2 x2 + 1 xdx =
ˆ
f)

1 + 1x
x2

1
2

x2 + 1
5

5

x2 + 1
4

−

4

+c

2dx

Solución
Resolveremos esta integral mediante dos estrategias distintas. Primero desarrollamos el numerador del integrando:
2
x+1 2
ˆ
ˆ
ˆ (x + 1)
ˆ
1 2
1+ x
2
(x + 1)2
x
x
dx
=
dx
=
dx
=
dx
x2
x2
x2
x4
ˆ 2
ˆ
x + 2x + 1
x2 2x 1
dx
=
+ +
dx
Desarrollamos el producto notable del numerador para obtener:
x4
x4 x4 x4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
2
1
=
dx +
dx +
dx = x−2 dx + 2 x−3 dx + x−4 dx
x2
x3
x4
= −x−1 +

2−2
1
1 1
1
x +
x + c1 = −
+ +
−2
−3
x x2 3x3

+ c1 = −

1
3x2 + 3x + 1 + c1
3x3

1
3x2 + 3x + 1 + c1 .
3x3
Como segunda estrategia podemos reescribir la integral original de la siguiente forma:
A este resultado lo llamaremos g1 (x) = −

ˆ

1 + 1x
x2

ˆ

2

dx =

1+

1
x

2

1
dx
x2

1
1
1
Podemos ahora hacer el cambio de variable u = 1 + . Derivando u obtenemos: du = −1x−2 dx = − 2 dx ⇒ −du = 2 dx.
xx
x
Sustituimos en la integral:

1

Matemáticas para gerentes

ˆ

1
1+
x

2

1
dx =
x2

ˆ

ˆ
2

u (−du) = −

u2 du = −

u3
+ c2
3

1
Devolvemos el cambio de variable u = 1 + :
x
ˆ

2
1 + 1x
dx
x2

1+
A este resultado lo llamaremos g2 (x) = −

1
x

1+
=−

1
x

3

3

+ c2

3

+ c2 .
3
Notamos que la función g1 (x) es diferente a la función g2 (x). La forma de verificar si las funciones g1 (x) y g2(x) son
efectivamente antiderivadas del integrando, es derivando dichas funciones para comprobar que los resultados de la derivación
sean iguales al integrando. Para ello podemos usar Matlab. Derivamos g1 (x) (no agregamos la constante de integración ya que
sabemos que su derivada es igual a cero):
>> syms x
>> expr1 = diff((-1/(3*x^3)*(3*x^2+3*x+1)))
expr1 =
(3*x^2 + 3*x + 1)/x^4 - (6*x +3)/(3*x^3)
>> simplify(expr1)
ans =
(x + 1)^2/x^4
Así la derivada de g1 (x) es

(x + 1)2
. Repetimos el procedimiento para g2 (x):
x4

>> expr2 = diff(-(1+1/x)^3/3)
expr2 =
(1/x + 1)^2/x^2
>> simplify(expr2)
ans =
(x + 1)^2/x^4
(x + 1)2
. Recordando la simplificación del integrando que hicimos al comienzo,
x4
tenemos que ambos resultados son correctos. Podemos hacer algunos cálculos sobre g2 (x) para vercómo difiere respecto a
g1 (x). Recordemos que
Entonces la derivada de g2 (x) también es

1+
g2 (x) = −

1
x

3

3

+ c2 = −

1
1
1+
3
x

3

+ c2 = −

x+1
x

1
3

3

+ c2 = −

1 (x + 1)3
1
+ c2 = − 3 (x + 1)3 + c2
3
3 x
3x

Desarrollamos la expresión entre paréntesis usando los siguientes comandos de Matlab:
>> syms x
>> expand((x+1)^3)
ans =
x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1
Entonces g2 (x) queda como:
g2(x) = −

Giselle Sosa Jones

1
1
1
x3 + 3x2 + 3x + 1 + c2 = − 3 x3 − 3 3x2 + 3x + 1 + c2
3
3x
3x
3x
2

Oswaldo Jiménez

Matemáticas para gerentes

1
1
1
1
= − − 3 3x2 + 3x + 1 + c2 = − 3 3x2 + 3x + 1 + c2 −
3 3x
3x
3
1
1
1
Así g1 (x) = − 3 3x2 + 3x + 1 + c1 y g2 (x) = − 3 3x2 + 3x + 1 + c2 − , por lo que g1 (x) y g2 (x) difieren
3x
3x
3
únicamente en constantes (c1 , c2 , y −1/3). Es por esto queambos resultados son correctos, ya que por lo visto en teoría,
si F(x) es una antiderivada de f (x), entonces cualquier función G(x) = F(x) + c, con c constante, es también una antiderivada.
2
1 + 1x
1
es de la forma − 3 3x2 + 3x + 1 + c, con c cualquier
En este caso tenemos que la antiderivada de la función
2
x
3x
constante.
ˆ
ln x
dx
h)
x2
Solución
Podemos reescribir la integral como
ˆ

ln...