Solucionario Analisis Matematico

´ ´ ANALISIS MATEMATICO I - CURSO 2001-02 PRIMER EXAMEN PARCIAL 1.- Definir sucesi´n de Cauchy. Probar que toda sucesi´n de Cauchy est´ acotada y que o o a toda sucesi´n convergente es de Cauchy. (10 puntos) o 2.- Enunciado y demostraci´n del teorema de Rolle para funciones derivables en un ino tervalo. (10 puntos) 3.- Hallar
1 1 1 1 sen 1 + 2 sen √2 + 3 sen √3 + +4 sen √4 + . . . + n sen √n √ l´ım . n n3 + n2

(10 puntos)

4.- Sea f la funci´n definida mediante la expresi´n o o f (x) = e−x x x−1
1

a) Determinar su dominio. Estudiar su continuidad y extenderla por continuidad a una funci´n g en los puntos de discontinuidad evitable, si existe alguno. o b) Estudiar la derivabilidad de g en su dominio. c) ¿Tiene g m´ximo o m´ a ınimo absoluto? (10 puntos) 5.- Sea f (x) = (1 + x)2log(1 + x), definida para x > −1. a) Hallar la f´rmula de Taylor (con resto) de la funci´n f en el punto 0, de orden 3 o o (polinomio de grado menor o igual que 3, resto de orden 4). 3 1 b) Probar que al sustituir f (x) por x + x2 + x3 , el error que se comete es menor 2 3 x4 que , si x > 0. 12 (10 puntos)

3.- Hallar

1 1 1 1 sen 1 + 2 sen √2 + 3 sen √3 + +4 sen √4 + . . . + n sen √n √ l´ ım .n n 3 + n2

Soluci´n: o
1 1 1 1 sen 1 + 2 sen √2 + 3 sen √3 + +4 sen √4 + . . . + n sen √n an √ = l´ ım , l´ ım n n bn n3 + n2

donde

1 1 1 1 an = sen 1 + 2 sen √ + 3 sen √ + +4 sen √ + . . . + n sen √ , n 2 3 4 bn = n3 + n2 .

Como la sucesi´n {bn } es creciente y tiende a +∞, podemos aplicar el criterio de Stolz. o Adem´s, a 1 1 1 1 an−1 = sen 1 + 2 sen √ + 3 sen √ + +4 sen √ + . . . +(n − 1) sen √ , n−1 2 3 4 1 an − an−1 = n sen √ , n bn−1 = bn − bn−1 = Por lo tanto,
1 n sen √n an − an−1 an √ = l´ ım = l´ √ ım l´ ım n bn − bn−1 n n bn n3 + n2 − n3 − 2n2 + n

(n − 1)3 + (n − 1)2 = n 3 + n2 −

n3 − 3n2 + 3n − 1 + n2 − 2n + 1,

n3 − 2n2 + n.

1 1 (usamos la equivalencia sen √ ∼ √ ) n n
1 n √n √ = l´ √ ım = l´ ım n n n3 + n2 − n3 − 2n2 + n √ √ 1 2 1 n n3 1 + n + 1 − n +n2 = l´ ım n 3n2 − n

√

n

√

n3 + n2 +

√

n3 − 2n2 + n

(n3 + n2 ) − (n3 − 2n2 + n)

n2 = l´ ım
n

1+

1 n

+

1−

2 n

+

1 n2

1 n2 (3 − n )

1+ = l´ ım
n

1 n

+ 3−

1−
1 n

2 n

+

1 n2

=

2 . 3

4.- Sea f la funci´n definida mediante la expresi´n o o f (x) = e−x x x−1 a) Determinar su dominio. Estudiar su continuidad y extenderla porcontinuidad a una funci´n g en los puntos de discontinuidad evitable, si existe alguno. o b) Estudiar la derivabilidad de g en su dominio. c) ¿Tiene g m´ximo o m´ a ınimo absoluto? Soluci´n: o a) Podemos escribir la funci´n f de esta forma: o f (x) = e−x e x−1 = e−x+ x−1 . Entonces, f est´ definida si x > 0 (por el logaritmo) y x = 1 (por el denominador x − 1). a Es decir: dom f = (0, 1) ∪ (1,+∞). En su dominio f es continua (incluso es derivable), porque se trata de operaciones con funciones continuas (incluso derivables): suma, cociente, composici´n, producto. Los puntos o donde puede haber una discontinuidad evitable son 0 y 1. Se trata de hallar
x→0+
log x log x 1

l´ f (x), ım

x→1

l´ f (x). ım

Como
x→0+

l´ log x = −∞, ım
log x

resulta que
x→0

l´ + f (x) = l´ +e−x+ x−1 = +∞. ım ım
x→0

As´ que f no tiene una discontinuidad evitable en 0. Veamos en 1: por la regla de l’Hˆpital ı o (tambi´n se pueden aplicar equivalencias), e log x 1/x = l´ ım = 1, x→1 x − 1 x→1 1 l´ ım as´ que ı
x→1

l´ f (x) = l´ e−x+ x−1 = e0 = 1. ım ım
x→1

log x

Entonces, f tiene una discontinuidad evitable en 1. La funci´n g que se pide es: o g(x) = e−x+ x−1 , si x ∈ (0,1) ∪ (1, +∞) 1, si x = 1.
log x

b) En los intervalos abiertos (0, 1) y (1, +∞), la funci´n g es derivable porque coincide con o f , que es derivable por ser resultado de operaciones (producto, composici´n, cociente) con o funciones derivables. As´ que hay que ver si g es derivable en 1. ı g(x) − g(1) e−x+ x−1 − 1 = l´ ım l´ ım x→1 x→1 x−1 x−1 log x →0) x−1
log x

(equivalencia :...