SOLUCIONARIO DE FUNCIONES

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UNIDAD DE FUNCIONES

EJERCICIO 1

1. Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados.
a. A = f 2; 1; 0; 1; 2g,
b. A = fa; e; i; o; ug,

B = f3; 5; 7g

B = fc; d; hg

Solución:
a.
A

B=

(

( 2; 3) ; ( 2; 5) ; ( 2; 7) ; ( 1; 3) ; ( 1; 5) ; ( 1; 7) ; (0; 3) ; (0; 5) ;

b.
A

B=

(0; 7) ; (1; 3) ; (1; 5) ; (1; 7) ; (2; 3) ; (2; 5) ; (2; 7)
(

(a; c) ; (a; d) ; (a; h) ; (e; c) ; (e; d) ; (e;h) ; (i; c) ; (i; d) ;
(i; h) ; (o; c) ; (o; d) ; (o; h) ; (u; c) ; (u; d) ; (u; h)

2. En los productos cartesianos del ejercicio 1 de…na 2 relaciones y 2 funciones.
Solución:
Ejemplos de dos relaciones tomando una de cada producto cartesiano son
R1

= f( 2; 3) ; (0; 3) ; (1; 5)g :

R2

= f(a; c) ; (u; h)g :

Ejemplos de dos funciones tomando una de cada producto cartesiano son
R

= f( 2; 7) ; (1; 3) ; (0; 5) ; (1; 5) ; (2; 3)g :

S

= f(a; h) ; (e; c) ; (i; h) ; (o; d) ; (u; c)g :

3. Determine cuáles relaciones representan funciones y cuáles no.
a. f = f(2; 6) ; ( 3; 6) ; (4; 9) ; (2; 10)g
b. g = f(a; 2) ; (b; 3) ; (c; 5) ; (a; 7)g
c. h = f(a; 1) ; (b; 2) ; (c; 1) ; (d; 2)g
d. i = f( 2; 4) ; ( 1; 1) ; (0; 0) ; (1; 1)g
e. y = 5x
f. y 2 =

3
x2

1

g. f (x) = x2 + x
h. y =

p

x+4

6

))

2
Solución:
a. f no es una función ya que el 2 admite dos imágenes que son el 6 y 10:
b. g no es función porque el elemento a admite como imagen a 2 y a 7.
c. Es una función si se considera como dominio al conjunto fa; b; c; dg.
d. Es una función si se considera como dominio al conjunto f 2; 1; 0; 1g.
e. Es una función lineal.
f. No es una función, ya que dicha igualdad no se cumple paraningún valor real.
g. Es una función cuadrática.
h. No es función, dado que cada número real tiene como imagen dos valores.
4. Hallar el dominio y rango de cada función.
a. f = f(0; 1) ; (3; 2) ; (1; 0) ; ( 3; 5) ; (2; 6)g
b. f (x) = 2x

6

c. y(x) = 3x2 + 5x
d. g (x) =

p

1

2x + 4

e. y = f (x) =

x
x2

16
2

f. y = f (x) =

x
+1

x2

Solución:
a.
Dom (f )

= f0; 3; 1; 3; 2g

Rang (f )

= f 1; 2; 0;5; 6g

b. En este caso f es una función lineal por lo tanto
Dom (f ) = R = Rang (f )
c. Aquí y es una función cuadrática que abre hacia arriba y cuyo vértice es el punto
Dom (f )

= R

Rang (f )

=

5
;
6

37
. En consecuencia
12

37
;1
12

d. Se trata de una función raíz cuadrada. Sabemos que dicha función real está de…nida en los valores que satisfacen
la condición 2x + 4

0 y de esta maneraDom (g)

=

Rang (g)

=

[ 2; 1)

[0; 1) = R+

3
e. Es una función racional. Si hacemos x2
de…nida, es decir, x =

16 = 0 encontraremos los valores para los que la función no está

4 y x = 4. Luego
Dom (f )

= R

Rang (f )

= R

f 4; 4g

f. Es una función racional para la cual no hay restricciones en su dominio y de este modo resulta
Dom (f )

= R

Rang (f )

= R+

5. Efectuar las evaluacionesindicadas para cada función
a. f (x) = 2x2 + 5x
b. g (x) =

p

f (0) ; f ( 1) ; f x2

3

x + 9,

c. y = f (x) =

g (7) ;

3x
x+1

3 ; f (x + h) :
g x4

g ( 5) ; g (x + 9) ;

f (2) ; f (0) ;

f ( 3) ;

2 :

f (h + 3) :

Solución:
a. Considerando la ley de asignación f (x) = 2x2 + 5x
f (0)
f ( 1)
f x2

3

f (x + h)
b. Tomando en cuenta g (x) =

2

= 2 (0) + 5 (0)

3=

2

=

2 ( 1) + 5 ( 1)

=

2 x2

=p

3 tenemos
3

3=

3 + 5 x2

3

2

2 (x + h) + 5 (x + h)

6
3 = 7x2

24

2

3 = 2h + 4hx + 5h + 2x2 + 5x

x + 9 resulta
g (7)

=

p

7+9=

p

16 = 4
p
g ( 5) =
5+9= 4=2
p
p
g (x + 9) =
(x + 9) + 9 = x + 18
p
p
g x4 2 =
(x4 2) + 9 = x4 + 7
p

c. Si f (x) =

3x
entonces
x+1

f (2)

=

f (0)

=

f ( 3)

=

f (h + 3)

=

3 (2)
3 (2)
=
=2
2+1
3
3 (0)
=0
0+1
3 ( 3)
9
=
3+1
2
3 (h + 3)
3h + 9
=
(h + 3) +1
h+4

3

4
EJERCICIO 2

Hallar dominio, rango y trazar grá…ca de cada función.

1. f (x) = 3x

2

Solución:
Como la función dada es lineal, el dominio de f es R y su rango es también R:Su grá…ca es

y
-4

10

-2

2

4

-10

x

2. g(x) = 4
Solución:
Esta es una función constante. Su dominio es R y su rango es f4g : La representación grá…ca de esta función es

y

5
4

-4

3. y =

-2

0

2

4...