Solucionario purcel

Cap. 3 Aplicaciones de la Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ

3
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

ÁREAS DE REGIONES PLANAS
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
LONGITUD DE UNA CURVA PLANA
VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
INTEGRALES IMPROPIAS.

Objetivo:
 Calcular áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una
curva plana.
 Evaluar integrales defunciones no acotadas

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3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se
particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las
particiones, lo cual equivale a una integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada.Considerando sólo una
partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier
partición de la región plana

Fig. 3.1

El área del elemento diferencial será:

dA  hdx  f ( x)dx
b

Por tanto, el área de la región plana está dada por: A 

 f (x)dx
a

Ejemplo 1
Hallar el área bajo la curva
SOLUCIÓN:

y  x 2 en 1,3

Primero, hacemos un dibujo de la región:y

y  x2

Fig. 3.2

1

3

El área bajo la curva estará dada por:
3

A


1

80

3

 x3 
 33 13  27 1 26
x 2 dx        
 
 3 1  3 3  3 3 3

x

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Ejemplo 2
y  x

Calcular el área de la región limitada por  y   x  6
y  0

SOLUCIÓN:
Primero se dibuja en el mismo plano y x y y  x  6

Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas.

 x

2

x  x  6
  x  6 2

x  x 2  12 x  36
x 2  13 x  36  0
x  9x  4  0
x9  x4

Fig. 3.3

El área está dado por:
4

A

6

 
x dx 

0

 x  6dx

4



3
2 x 2
3

6

 x2

 
 6x 


2
0 
4
4

2  42

3

  6
  2 4  2  0   
 66    
 64 
  2

3
  2
 


16
 18  36  8  24
3
22
A
3


Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la
anterior.

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3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:

Fig. 3.4

Laidea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se
obtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones.
Siendo breve, el área del elemento diferencial será:

dA  hdx   f ( x)  g ( x) dx
b

Entonces el área de la región plana está dada por: A 



 f ( x)  g ( x) dx

a

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región
plana, siga los siguientespasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.

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Ejemplo 1

y  x  4
Calcular el valor del área de laregión limitada por 
2

y  x  2
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y  x  4 y y  x 2  2
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

Fig. 3.5

x  4  x2  2
x2  x  6  0
x  3( x  2)  0
x  3  x  2

PASO 4: La integral definida para el área sería:
3

A

x  4  x

2



 2 dx

2

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
3

A


2

x  4  x

2



3

 2 dx 



 x

2



 x  6 dx

2

3

 x3 x2

 

 6x 
 3

2

 2

 33 3 2
   2 3  22
 

 6(3)    

 6 2
 3



2
3
2

 

9
8
 9   18   2  12
2...