SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE E.D.O. LINEALES

Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE
E.D.O. LINEALES
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción

1

2 Series numéricas
2.1 Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3
4
4

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia
3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas . . . .

4
7

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales
4.1 Soluciones en serie entorno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
11
14

1

Introducción

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden
superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en lasaplicaciones, se puede
observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, que
las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y 00 + xy = 0,
no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar
este tema a la búsqueda de soluciones linealmenteindependientes que vienen representadas por lo que se
denominan series de potencias.
Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de
potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención de
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades
elementalesde las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados básicos relativos a las
series numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

2

Series numéricas

Se llama serie de números reales a todo par ordenado ({an }, {Sn }) en el que {an } es una sucesión de
números reales arbitraria y {Sn } es la sucesión definida por:
S1 = a1
Sn+1 = Sn+ an+1 = a1 + · · · + an+1

para todo n ∈ N.

A {an } se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn } se llamará sucesión de
∞
P
P
sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por
an (o más brevemente
an ) a la serie de
n=1

término general {an }.

1

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. ElectrónicaIndustrial. 2

P
Se dice que la serie de números reales
an es convergente cuando su sucesión de sumas parciales es
convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite de
la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por
∞
X

n=1

an = lim Sn = lim (a1 + · · · + an ).
n→∞

n→∞

Cuando lasucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien el límite sea
±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie.
Ejemplos:
1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos números reales no
nulos, a la
∞
X

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·

Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1.En efecto, para r 6= 1, se tiene:
Sn = a + ar + . . . + arn−1 =

arn − a
r−1

y por tanto,
•

a
a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn =
y la serie es convergente independientemente del
1−r
a
.
valor de a siendo su suma
1−r
b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que
⎧
+∞
si r > 1 y a > 0
rn − 1 ⎨
−∞
si r > 1 y a < 0
=
lim Sn = lim a
n→∞
n→∞
⎩
r−1
no existe
si r...