Soluciones Problemas Unidad 2

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA UNIDAD 2
En cada uno de los problemas se muestra una solución posible. En ninguna de ellas se han
empleado nociones de funciones trigonométricas.
Es aceptada cualquier forma de resolución, correcta y bien justificada, por parte de los
alumnos
Problema 1
En el rectángulo ABCD, se sabe:
5. AB = 12.BC
El triángulo ADE es isósceles de
450 cm 2 de área y.CB = 3.FB

Calcula el área de AFCE

Siendo el ADE un triángulo isósceles y el ABCD un rectángulo se cumple que:
AD = DE = BC
De acuerdo al dato del área del triángulo isósceles
AD. DE
AD. AD
= 450 cm 2 ⇒
= 450 cm 2
2
2
2

AD = 2. 450 cm 2 = 900 cm 2 ⇒ AD = 900 cm 2 = 30 cm = BC

En el rectángulo ABCD, se sabe que 5. AB = 12.BC entonces

5. AB = 12. 30 cm ⇒ AB =

Por otro lado:

12. 30 cm
= 12. 6cm = 72 cm = DC
5

CB = 3. FB ⇒

30 cm
= FB = 10 cm
3

Área cuadrilátero AECF =

Área rectángulo ABCD - Área triángulo ADE - Área triángulo ABF =

AB . BF
72 cm . 10 cm
= 30 cm . 72 cm − 450 cm 2 −
=
2
2
2160 cm 2 − 450 cm 2 − 360 cm 2 = 1350 cm 2
AD . AB − 450 cm 2 −

Respuesta: área de AFCE es 1350 cm 2

Problema 2
En el rectángulo ABCD de 84 cm de perímetro, BC = 2 AB . Sobre AB se dibujan uncuadrado de 100 cm2 de área y un triángulo.
Sobre CD se dibujan un cuadrado de 36 cm2 de área y un triángulo.
¿Cuál es el área de la región sombreada?

Solución
Calcularemos el área de la región sombreada como la diferencia entre el área del rectángulo
ABCD y el área de los dos trapecios determinados por un cuadrado y un triángulo, estos
son los trapecios ABGF y DCIJ
En el rectángulo ABCDPerímetro = 2. AB + BC = 2. AB + 2 AB = 2. 3. AB = 6 AB = 84 cm

(

AB =

84cm
= 14 cm
6

)

(

)

BC = 2 AB = 28 cm

Área del rectángulo ABCD = AB.BC = 14 cm . 28 cm = 392 cm2
Para calcular el área del trapecio ABGF
Siendo el lado del cuadrado EBGF

EB = 100 cm 2 = 10 cm

entonces

Área trapecio ABGF =

( AB + FG ) .GB = (14cm + 10cm ) .10cm = 240cm
2

2

2

2

= 120cm 2

Para calcular el área deltrapecio DCIJ
Siendo el lado del cuadrado DHIJ
Area trapecio DHIJ =

DH = 36 cm 2 = 6 cm

( DC + JI ) .DJ = (14cm + 6cm ) .6cm = 120cm
2

2

2

2

= 60cm 2

Área de la región sombreada =
área del rectángulo ABCD - área del trapecio ABGF - Área del trapecio DCIJ =
392 cm2 - 120 cm2 - 60 cm2 = 212 cm2
Respuesta: 212 cm2 (En el manual está equivocada)

Problema 3
En la circunferencia de centro O se marcanlos puntos A, B, C; D de modo que el ángulo
AOB = 40º , AC y BD son diámetros .
JJJK
Por D se traza la recta tangente a la circunferencia. La semirrecta BC corta a esa recta
tangente en el punto E. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero ABED?

Solución
ˆ = 40° = DOC
ˆ
por opuestos por el vértice
AOB
Como AO y OB son radios. AOB es un triángulo isósceles, entonces
ˆ = OBA
ˆ = 1 (180°− 40°) = 70°
OAB
2

ˆ = 180° − AOB
ˆ = 140°
AOD
ˆ = 180° − DOC
ˆ = 140°
BOC

Por ser ángulos adyacentes.

ˆ = ADO
ˆ = 1 (180° − 140°) = 20°
El triángulo AOD es isósceles , entonces DAO
2
1
ˆ = (180° − 140°) = 20°
ˆ = OCB
El triángulo COB es isósceles, entonces OBC
2
ˆ = 90°
Como DE es tangente a la circunferencia , el ángulo ODE
Entonces en el cuadrilátero ABED

ˆ + OAB
ˆ = 20° + 70° = 90°
Aˆ =DAO
ˆ + OBC
ˆ = 70° + 20° = 90°
Bˆ = OBA
ˆ + ODE
ˆ = 20° + 90° = 110°
Dˆ = ADO

(

)

Eˆ = 360° − Aˆ + Bˆ + Dˆ = 360° − 290° = 70°

 


Respuesta: A = B = 90D , D = 110D , E = 70D

Problema 4
El cuadrado ABCD tiene 48 cm de perímetro. Con centro en los vértices B y D se trazan
arcos de circunferencias de 9 cm de radio. Estos arcos se cortan en los puntos I y J ¿Cuál es
el área del cuadriláteroBIDJ?

Solución:
El cuadrilátero BIDJ es un rombo ya que sus cuatro lados son iguales por ser radios de dos
circunferencias de igual radio.

Lado del cuadrado =

48 cm
= 12 cm
4
2

Diagonal del cuadrado: BD = (12 cm) 2 + (12 cm) 2
BD = 2. 144 cm 2 = 12 2 cm

El triángulo isósceles IJB tiene los lados iguales de 9 cm y la altura h correspondiente al
lado desigual IJ igual a la mitad de la...