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6 TRIGONOMETRÍA

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

6.1 Indica la medida de estos ángulos en radianes.
a) 0º

c) 60º

b) 45º

d) 120º
2␲rad
x
2␲ и 60
␲
c) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ rad
60º
360º
360
3
2␲rad
x
2␲ и 120
2␲
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ rad
360º
120º
360
3

a) 0º ϭ 0 rad
2␲rad
x
2␲ и 45
␲
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ rad
360º
45º
360
4
6.2 Expresaen grados los siguientes ángulos.
␲
b) 0,8 rad
c)
a) —— rad
6
360º
360 и ␲
x
a) ᎏᎏ ϭ ᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ 30º
␲
2␲rad
12␲
ᎏᎏ rad
6
360º
x
288
144
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 45,86º
2␲rad
0,8 rad
2␲
␲

3␲
—— rad
4

d) 3␲ rad

ϭ 45º 51’ 35’’

x
360º
1080 и ␲
c) ᎏᎏ ϭ ᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ 135º
3␲
2␲rad
8␲
ᎏᎏ rad
4
360º
x
1080 и ␲
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x ϭ ᎏᎏ ϭ 540º
2␲rad
3␲ rad2␲
6.3 Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud.
6
sen ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,6
10
8m
8
6m
cos ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,8
10
6
10 m
tg ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,75
8
6.4 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa y uno de sus catetos miden 13 y 5 centímetros, respectivamente.
Para calcular el otro cateto usamos el teorema dePitágoras:
x 2 ϩ 5 2 ϭ 13 2 ⇒ x 2 ϭ 144 ⇒ x ϭ 12
12
sen ␣ ϭ ᎏᎏ = 0,923
13

5
cos ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,385
13

12
tg ␣ ϭ ᎏᎏ ϭ 2,4
5

5
sen ␤ ϭ ᎏᎏ = 0,385
13

12
cos ␤ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,923
13

5
tg ␤ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,417
12

6.5 Calcula las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo que:
3
͙ෆ
a) sen ␣ ‫—— ؍‬
5

1
b) cos ␣ ‫—— ؍‬
3
2
3
3
22
22
͙๶
͙๶
a) cos2 ␣ ϩ sen2 ␣ϭ 1 ⇒ cos2 ␣ ϩ ᎏᎏ ϭ 1 ⇒ cos2 ␣ ϭ 1 Ϫ ᎏᎏ ⇒ cos2 ␣ ϭ ᎏᎏ ⇒ cos ␣ ᎏᎏ
5
25
25
5
3
͙ෆ
ᎏᎏ
5
sen ␣
3
66
͙๶
͙ෆ
tg ␣ ϭ ᎏᎏ ⇒ tg ␣ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
cos ␣
22
22
͙ෆ
ෆ
͙22
2
2͙ෆ
ᎏᎏ
ᎏᎏ
2
5
3
1
1
8
2͙๶
2
b) sen2 ␣ ϩ ᎏᎏ ϭ 1 ⇒ sen2 ␣ ϭ 1 Ϫ ᎏᎏ ⇒ sen2 ␣ ϭ ᎏᎏ ⇒ sen ␣ ϭ ᎏᎏ ⇒ tg ␣ ϭ ᎏ ϭ 2͙๶
2
1
3
9
9
3
ᎏᎏ
3

΂ ΃

΂΃

118

4
6.6 La tangente de un ángulo agudo ␣ es igual a——. Halla sen ␣ y cos ␣.
3
1
16
1
25
1
9
3
tg2 ␣ ϩ 1 ϭ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ ϩ 1 ϭ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ ϭ ᎏᎏ ϭ cos2 ␣ ⇒ cos ␣ ϭ ᎏᎏ
cos2␣
9
cos2␣
9
cos2␣
25
5

΂ ΃ ϭ1 ⇒ sen ␣ ϭ 1 Ϫ ᎏ9ᎏ ⇒ sen ␣ ϭ ᎏ4ᎏ
25
5

3
sen2 ␣ ϩ ᎏᎏ
5

2

2

6.7 Simplifica la siguiente expresión: (sen2 ␣ + cos2 ␣) + (sen2 ␣ – cos2 ␣).
(sen2 ␣ ϩ cos2 ␣) ϩ (sen2 ␣ Ϫ cos2 ␣) ϭ 2sen2 ␣
6.8 Calcula las razones trigonométricasde estos ángulos.
a) ␲ rad

b) 270º

0
a) sen ␲ ϭ ᎏᎏ ϭ 0
1

0
tg ␲ ϭ ᎏᎏ ϭ 0
Ϫ1

Ϫ1
b) sen 270º ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫ1
1
6.9

Ϫ1
cos ␲ ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫ1
1
0
cos 270º ϭ ᎏᎏ ϭ 0
1

Ϫ1
tg 270º ϭ ᎏᎏ = ϱ
0

La tangente de un ángulo del tercer cuadrante es tg ␣ ‫ .4 ؍‬Halla las otras dos razones trigonométricas de este ángulo.
Tercer cuadrante sen ␣ Ͻ 0, cos ␣ Ͻ 0, tg ␣ Ͼ 0; tomaremos las raícesnegativas.
17
͙ෆ
1
1
42 ϩ 1 ϭ ᎏᎏ ⇒ cos2 ␣ ϭ ᎏᎏ ⇒ cos ␣ ϭ Ϫ ᎏᎏ
2
cos ␣
17
17

sen ␣
4͙๶
17
4 ϭ ᎏ ⇒ sen ␣ ϭ Ϫᎏᎏ
17
17
͙๶
Ϫᎏᎏ
17
6.10 Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas.
5␲
a) sen ——
6

␲
b) cos ؊——
6

5␲
1
a) sen ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
6
2

3
͙ෆ
␲
b) cos Ϫᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2
6

΂ ΃

΂ ΃

6.11 Halla las razones trigonométricas de estos ángulos.
a) 150ºc) 225º

b) ؊120º

d) 300º

1
a) sen 150º ϭ sen (180 Ϫ 30) ϭ sen 30º ϭ ᎏᎏ
2

3
͙๶
cos 150º ϭ cos (180 Ϫ 30) ϭ Ϫcos 30º ϭ Ϫᎏᎏ
2

3
͙๶
tg 150º ϭ tg (180 Ϫ 30) ϭ Ϫtg 30º ϭ Ϫᎏᎏ
3

3
͙๶
b) sen (Ϫ120º) ϭ Ϫsen (120º) ϭ Ϫsen (180 Ϫ 60) ϭ Ϫsen 60º ϭ Ϫᎏᎏ
2
1
cos (Ϫ120º) ϭ cos (120º) ϭ cos (180 Ϫ 60) ϭ Ϫcos 60º ϭ Ϫᎏᎏ
2
tg (Ϫ120º) ϭ Ϫtg (120º) ϭ Ϫtg (180 Ϫ 60) ϭ tg 60º ϭ
2
͙๶
c)sen 225º ϭ sen (180 ϩ 45) ϭ Ϫsen 45º ϭ Ϫᎏᎏ
2

͙3
๶
2
͙๶
cos 225º ϭ cos (180 ϩ 45) ϭ Ϫcos 45º ϭ Ϫᎏᎏ
2

tg 225º ϭ tg (180 ϩ 45) ϭ tg 45º ϭ 1
3
͙๶
d) sen 300º ϭ sen (Ϫ60) ϭ Ϫsen 60º ϭ Ϫᎏᎏ
2

1
cos 300º ϭ cos (Ϫ60º) ϭ cos 60º ϭ ᎏᎏ
2

tg 300º ϭ tg (Ϫ60) ϭ Ϫtg 60º ϭ Ϫ͙3
๶
119

6.12 Con la ayuda de la calculadora, halla el seno, el coseno y la tangente de estos ángulos....