Soluciones1

Funciones de varias variables.

PROBLEMAS RESUELTOS 1
(continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de
funciones de varias variables)
PROBLEMA 1
Estudiar la continuidad de la función:
 x2 y

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
 0


( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:

 x = ρ cos (θ )

 y = ρ sen(θ )
Así:
l=

lim

( x , y ) → (0,0)

ρ 3 cos 2 (θ ) sen (θ )
= lim ρ cos 2 (θ ) sen (θ ) = 0
2
ρ →0
ρ →0
ρ

f ( x, y ) = lim

de donde se sigue que la función dada es continua en el origen, ya que
lim

( x , y ) →(0,0)

f ( x, y ) = f (0, 0) = 0 .

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Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.

PROBLEMA 2

Estudiar la continuidad de la función:
x+ y

f ( x, y ) =  x − y
 0

( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
 x = ρ cos (θ )

 y = ρ sen (θ )

Así:

l=

lim

( x , y ) → (0,0)

f ( x, y ) = lim
ρ →0

ρ cos (θ ) + ρ sen (θ ) cos (θ ) + sen (θ )
=
ρ cos (θ ) − ρ sen (θ ) cos (θ ) − sen (θ )

Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límitedoble y que la
función dada no es continua en el origen.

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PROBLEMA 3

Estudiar la continuidad de la función:

x2 y2

f ( x, y ) =  x 2 y 2 + ( x − y ) 2

0


( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

El origen es el punto en el que la definición de la función cambia, por tanto, es en ese
punto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no.Para ello, estudiamos la
existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto.
Si construimos la curva paramétrica
x = t

 y = t h(t )
donde lím th(t ) = 0 , entonces:
t →0

l=

lím

( x , y ) → (0,0)

t 2t 2 h 2 (t )
t 2 h 2 (t )
=
lím
t → 0 t 2 t 2 h 2 (t ) + (t − th(t )) 2
t → 0 t 2 h 2 (t ) + (1 − h(t )) 2

f ( x, y ) = lím

por ello,

si

0
=0
1
h(t )− > ∞ => l = 0

si

h(t )− > k ≠ 0 =>l =

si

h(t ) → 0 => l =

0
(1 − k ) 2

Nos encontramos con la duda sobre el valor del límite l cuando h(t) es una función tal
que lim h(t ) = 1 . Para solventar este problema estudiamos algún caso particular de
t →0

función h(t), por ejemplo, tomando h(t)=(1-t). En tal caso,
l = lim
t →0

t 2 (1 − t )

2

t 2 (1 − t ) + t 2
2

(1 − t ) = 1 ≠ 0 .
= lim
2
t →0
(1 − t ) + 1 2
2

Del resultadoobtenido deducimos que no existe el límite doble de f(x,y) en el origen y,
por tanto, la función dada no es continua en (0,0).

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PROBLEMA 4

Estudiar la continuidad de la función:
 y2

f ( x, y ) =  x 2 + y 2
 0


( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio acoordenadas
polares:
 x = ρ cos (θ )

 y = ρ sen (θ )
Así:
l=

lim

( x , y ) → (0,0)

ρ 2 sen 2 (θ )
= sen 2 (θ )
2
ρ →0
ρ

f ( x, y ) = lim

Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la
función dada no es continua en el origen.

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PROBLEMA 5

Estudiar la continuidad de la función:
 x3 + y 3

f ( x, y ) =  x 2+ y 2
 0


( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

Debemos estudiar la continuidad de la función en el origen. Para ello, estudiamos la
existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto.
Si construimos la curva paramétrica
x = t

 y = t h(t )
donde lím th(t ) = 0 , entonces:
t →0

l=

lím

( x , y ) → (0,0)

t 3 + t 3 h3 (t )
t + th3 (t )
=
lím
t → 0 t 2 + t 2 h 2 (t )
t → 0 1 + h2 (t )

f ( x, y ) = lím

por ello,
si

h(t ) → 0 => l =

0
=0
1

t
+ t h(t )
0
h (t )
h(t )− > ∞ => l = lim
= =0
t →0
1
1
+1
2
h (t )
0
h(t )− > k ≠ 0 => l = = 0
1
2

si

si

Así, se concluye que el límite doble de la función vale l = 0. Por tanto, la función dada
es continua en (0, 0) puesto que
lim

( x , y ) →(0,0)

f ( x, y ) = f (0, 0) = 0 .

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