superficie de elipsoide

Dada la superficie del elipsoide:



a) Calcular el vector unitario normal en cada punto de la superficie del elipsoide.
b) Calcular la integral :



sobre el elipsoide, siendo :


Respuesta 1
Dada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la función que representa a dicha superficie nos determina un vector normal a ella en el punto considerado.



Paraque el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su módulo:



La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del vector r a través de S. Para resolver esta parte del problema
aplicamos la fórmula de Gauss – Ostrogradsky :



En nuestro caso tenemos



Con lo que nos quedará :



Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide. Sirealizamos un cambio de variable en la forma :



El jacobiano y los límites de integración quedarán:



con lo que la integral resultará :







Sobre una capa semiesférica de radio R, tenemos una distribución de carga uniforme = 1 C/m2. Calcular el campo en el centro de la esfera coincidente con la carga.
Respuesta
Vamos a considerar que dividimos la semiesfera en meridianos yparalelos, de tal modo que se forme una red constituida por elementos como el representado en la figura adjunta.
Por la simetría del problema, las componentes perpendiculares al eje OA se anulan dos a dos y sólo tendrán efecto las
componentes tangenciales a dicho eje. Podemos suponer entonces que el valor del campo eléctrico en el punto O será :




Siendo R el radio de la esfera coincidentecon el hemisferio y dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:



donde y son, respectivamente, el ángulo polar y la colatitud de la esfera. En esas condiciones, sustituyendo en la
anterior expresión, tendremos:



y considerando que los límites de integración para las variables que estamos considerando son :



nos queda:



que es el valor del campoeléctrico en el punto O.
Sustituyendo los valores de la densidad de carga y de la constante dieléctrica se obtiene el resultado numérico buscado.



Dada la siguiente distribución de carga :



a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en función de r (A = 10 C/m, R0 = 3 cm ;

b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r = R, calcular el valor de R para que la relaciónentre el campo calculado en a) y b) sea Eb = 0,9.Ea a una distancia r = 10 cm del centro de la distribución.
Respuesta
Para resolver este problema vamos a obtener primero el campo eléctrico y para ello consideraremos independientemente las
dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema en dos.
1º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :2º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :



Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y aplicando el teorema de Gauss, tenemos :



de donde se deduce con facilidad que el campo eléctrico viene dado por :



y la expresión se cumple para puntos en los que r es estrictamente menor que R0. Análogamente, para puntos en los que r es
mayoro igual que R0 obtenemos :



y en este caso el campo eléctrico valdrá :



Si consideramos la segunda distribución, para los puntos en que r es estrictamente menor que R0 obtenemos que el campo es nulo por serlo la densidad de carga en esa región. Para los puntos en los que r es mayor o igual que R0 tenemos :



y a partir de ahí resulta :



Considerando que el problema tienesimetría radial podemos sumar las soluciones obtenidas con cada distribución para llegar a :



Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar en dos el problema inicial) y aplicamos la ecuación de Poisson
en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que la distribución de carga solo depende de r.
Para la primera distribución, en r menor que R0 :



Para la segunda...