Superficies cuádricas

Introducción

Estudio de la Superficie Esférica
Al rotar y trasladar adecuadamente los ejes coordenados, para el caso particular de los términos cuadráticos con coeficientes iguales, se obtiene la ecuación:
x2r2+y2r2+z2r2=1
1. Estudio de la simetría
Para realizar el estudio de la simetría verificamos si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de:
* Lastres variables, la superficie es simétrica con respecto al origen de coordenadas.
* Dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no se ha cambiado.
* Una variable, la superficie es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable.

a) Simetría respecto a losplanos coordenados;

Simetría respecto al plano “xy” (cambiando el signo de z)

x2r2+y2r2+(-z)2r2=1

Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la variable z, la superficie resulta simétrica respecto al plano xy.

Simetría respecto al plano “xz” (cambiando el signo de y)

x2r2+(-y)2r2+z2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signode la variable y, la superficie resulta simétrica respecto al plano xz.

Simetría respecto al plano ”yz” (cambiando el signo de x)

-x2r2+y2r2+z2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la variable x, la superficie resulta simétrica respecto del plano yz.

b) Simetría respecto a los ejes coordenado

Simetría respecto al eje “x” (cambiando el signode las variables y, z)

x2r2+(-y)2r2+(-z)2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las variables y, z; la superficie es simétrica con respecto al eje “x”

Simetría respecto al eje “y” (cambiando los signos de las variables x, z)

(-x)2r2+y2r2+(-z)2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las variables x, z; lasuperficie es simétrica con respecto al eje “y”.

Simetría con el eje “z” (cambiando los signos de las variables x, y)

(-x)2r2+(-y)2r2+z2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las variables x, y; la superficie es simétrica con respecto al eje z.

c) Simetría respecto al origen de coordenadas (cambiando los signos de las tres variables)(-x)2r2+(-y)2r2+(-z)2r2=1
Como la ecuación de la superficie no se altera cambiando el signo de las tres variables, la superficie resulta simétrica respeto al origen de coordenadas.

2. Verificar si la superficie contiene o no el origen del sistema de coordenadas
Reemplazando por el punto P(0,0,0) en la ecuación:
02r2+02r2+02r2≠1
0≠1
Se deduce, que la superficieno contiene al origen de coordenadas.

3. Intersección con los ejes coordenados

a) Intersección con el eje “x”

x2r2+y2r2+z2r2=1y=0 z=0 ⟹ x2r2=1y=0 z=0 ⇒ x2=r2y=0 z=0 ⟹ x=±ry=0 z=0

O sea que x=±r ; y=z=0⟹A1r,0,0 ⋀ A2(-r,0,0) se trata de dos puntos simétricos respecto del origen,ubicados sobre el eje “x”.
b) Intersección con el eje ”y”

x2r2+y2r2+z2r2=1x=0 z=0 ⟹ y2r2=1x=0 z=0 ⇒ y2=r2x=0 z=0 ⟹ y=±rx=0 z=0

O sea que y=±r ; x=z=0⟹B10,r,0 ⋀ A2(0,-r,0) se trata de dos puntos simétricos respecto del origen, ubicados sobre el eje “y”.
c) Intersección con el eje “z”x2r2+y2r2+z2r2=1x=0 y=0 ⟹ z2r2=1x=0 y=0 ⇒ z2=r2x=0 y=0 ⟹ z=±rx=0 y=0

O sea que z=±r ; x=y=0⟹C10,0,r ⋀ C2(0,0,-r) se trata de dos puntos simétricos respecto del origen, ubicados sobre el eje “z”.

4. Intersección con los planos coordenados

a) Intersección con el plano “xy” (z=0)...