Técnicas Cuantitativas II

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Tecnicas Cuantitativas II
2011-2012

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Introduccion

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Introduccion – 1 / 58

TC II

´ndice
I
´ndice
I
Variables Aleatorias
Algunos modelos
continuos de variable
aleatoria

Variables Aleatorias
Algunos modelos continuos de variable aleatoria
Concepto de muestra y estad´stico
ı

Concepto de muestra y
estad´stico
ı

Algunos ejemplos de estad´sticos
ı

Algunosejemplos de
estad´sticos
ı

Valor esperado y varianza de la media muestral

Valor esperado y
varianza de la media
muestral

Valor esperado de la varianza y cuasivarianza muestral

Valor esperado de la
varianza y cuasivarianza
muestral

TC II

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Introduccion – 2 / 58

´ndice
I
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias:
Esperanza y Varianza
Algunosmodelos
continuos de variable
aleatoria
Concepto de muestra y
estad´stico
ı

Variables Aleatorias

Algunos ejemplos de
estad´sticos
ı
Valor esperado y
varianza de la media
muestral
Valor esperado de la
varianza y cuasivarianza
muestral

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Introduccion – 3 / 58

TC II

Variables Aleatorias
´ndice
I
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias:
Esperanza yVarianza
Algunos modelos
continuos de variable
aleatoria
Concepto de muestra y
estad´stico
ı
Algunos ejemplos de
estad´sticos
ı
Valor esperado y
varianza de la media
muestral
Valor esperado de la
varianza y cuasivarianza
muestral

´
´
Una variable aleatoria, X , es una funcion X : Ω −→ R tal que su valor esta determinado
por el azar (sabemos que valores toma pero no se tienecerteza de su ocurrencia).
Podemos clasificar las v.a. en dos familias:
1) V.a. Discretas: Cuando X toma un valor finito (1, 2 y 3) o infinito numerable de
valores (2, 4, 6, 8, ...). En este caso,
´
La funcion de cuant´a es: pi = P [X = xi ] para cada valor xi que toma
ı
X , i = 1, ....
´
´
La funcion de distribucion: P [X ≤ x] =

pi .
xi ≤x

2) V.a. Continuas: Cuando X toma un valorinfinito no numerable de valores (R, . . .).
En este caso,
b

´
La funcion de densidad es: f (x) que verifica que

(a, b]]. (Observa que

+∞
−∞

a

f (x)dx = P [X ∈

f (x)dx = 1 y que f (x) ≥ 0.)
x

f (u)du. (F es no decreciente,

´
´
La funcion de distribucion es: F (x) =
−∞
′

continua, F (+∞) = 1, F (−∞) = 0 y F (x) = f (x))
TC II

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Introduccion – 4 / 58

VariablesAleatorias: Esperanza y Varianza
´ndice
I
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias
Variables Aleatorias:
Esperanza y Varianza
Algunos modelos
continuos de variable
aleatoria
Concepto de muestra y
estad´stico
ı
Algunos ejemplos de
estad´sticos
ı
Valor esperado y
varianza de la media
muestral
Valor esperado de la
varianza y cuasivarianza
muestral

1) V.a. discretas:

E[X] =xi pi .
i

V ar(X) = E[(X − E[X])2 ] =

i

(xi − E[X])2 pi .

2) V.a. continuas:

E[X] =

∞
−∞

xf (x)dx.
2

V ar(X) = E[(X − E[X]) ] =

∞
−∞

(x − E[X])2 f (x)dx.

Propiedades:

E[X + Y ] = E[X] + E[Y ],
E[aX + b] = aE[X] + b,
V ar(X) = E[X 2 ] − E[X]2 ,
V ar(X) ≥ 0,

V ar(aX + b) = a2 V ar(X),
TC II

V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) ± Cov(X, Y ).

´Introduccion – 5 / 58

´ndice
I
Variables Aleatorias
Algunos modelos
continuos de variable
aleatoria
Uniforme
Exponencial
Gamma
Beta
Normal
Chi-Cuadrado
t-Student

Algunos modelos continuos de
variable aleatoria: uniforme,
exponencial, gamma, beta, normal y
asociadas a la normal: χ2 , t-Student,
F-Snedecor

F-Snedecor
Concepto de muestra y
estad´stico
ı
Algunos ejemplos deestad´sticos
ı
Valor esperado y
varianza de la media
muestral
Valor esperado de la
varianza y cuasivarianza
muestral

TC II

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Introduccion – 6 / 58

Uniforme
´ndice
I
Variables Aleatorias
Algunos modelos
continuos de variable
aleatoria

´
Definicion 1 Dada X una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo real
´
(a, b), se dice que se distribuye de...