T1 Numeros Reales

Cap´ıtulo 1

El cuerpo de los n´
umeros reales
1.1.

Introducci´
on

Existen diversos enfoques para introducir los n´
umeros reales: uno de ellos parte de los
n´
umeros naturales 1, 2, 3, . . . utiliz´
andolos para construir los n´
umeros racionales
y ´estos son
√
umeros
a su vez utilizados para construir los n´
umeros irracionales, tales como 2 y π. Los n´
reales ser´ıan entonces la uni´
on delos n´
umeros racionales e irracionales. Sin embargo en esta
asignatura s´
olo nos interesan las propiedades de los n´
umeros reales y no la forma empleada para
construirlos, por eso vamos a introducirlos desde un punto de vista axiom´atico.
Supondremos que existe un conjunto no vac´ıo R, llamado conjunto de los n´
umeros reales, que
satisface una serie de axiomas que agruparemos en 3 categor´ıas:axiomas de cuerpo, axiomas de
orden y axioma del supremo (llamado tambi´en axioma de completitud o axioma de continuidad).

1.2.

Axiomas de cuerpo

Suponemos que en R hay definida una operaci´on interna + : R × R → R, (x, y) → x + y,
llamada “suma” que satisface las siguientes propiedades:
(a1) Asociativa: x+(y+z) = (x+y)+z, ∀x, y, z ∈ R.
(a2) Conmutativa: x + y = y + x, ∀x, y ∈ R.
(a3)Existencia de elemento neutro: Existe un n´
umero real que llamaremos 0 tal que
x + 0 = 0 + x = x,
1

∀x ∈ R.

´
CAP´ıTULO 1. EL CUERPO DE LOS NUMEROS
REALES

2

(a4) Existencia de elemento opuesto : dado cualquier n´
umero real x existe otro n´
umero real x ,
que llamaremos elemento opuesto de x, tal que
x + x = x + x = 0.
Denotaremos −x := x .
Al satisfacer las propiedades (a1)-(a4) decimos que elconjunto (R, +) tiene estructura de
grupo conmutativo o abeliano.
Suponemos tambi´en que en R existe otra operaci´on interna · : R × R → R, (x, y) → x · y,
llamada “producto” o “multiplicaci´
on” que satisface las siguientes propiedades:
(a5) Asociativa: ∀x, y, z ∈ R, x · (y · z) = (x · y) · z.
(a6) Conmutativa: ∀x, y ∈ R, x · y = y · x.
(a7) Existencia de elemento unidad (elemento neutro de lamultiplicaci´on): existe un n´
umero
real que llamaremos 1, distinto de 0, tal que ∀x ∈ R, 1 · x = x.
(a8) Existencia de elemento inverso (elemento sim´etrico respecto de la multiplicaci´on): dado
cualquier n´
umero real x = 0 existe un elemento y ∈ R, que llamaremos inverso de x, tal
que x · y = 1. Denotaremos x−1 := y.
(a9) Distributiva del producto respecto de la suma:
∀x, y, z ∈ R,

x · (y + z) = x ·y + x · z.

A partir de ahora al producto x · y tambi´en lo representaremos simplemente por la yuxtaposici´on x y.
Al satisfacer (R, +, ·) los axiomas (a1)-(a9) se dice que tiene estructura de cuerpo conmuta´
tivo. De los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del Algebra
elemental.
Ejemplo 1.2.1. Demostrar las siguientes propiedades:
1. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que a+ b = a + c ⇒ b = c.
2. Para todo a ∈ R se cumple que −(−a) = a.
3. El elemento 0 es u
´nico.
4. El elemento 1 es u
´nico.
5. Para todo x ∈ R se cumple que x · 0 = 0 · x = 0 .
6. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que a · b = a · c y a = 0 entonces b = c.

1.3. AXIOMAS DE ORDEN

1.3.

3

Axiomas de orden

Este grupo de axiomas se refiere a la ordenaci´on de los n´
umeros reales.
´ n 1.3.1. Se diceque la relaci´
Definicio
on binaria ≤ (“menor o igual que”) establece una relaci´
on
de orden en un conjunto S = ∅ si satisface las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: x ≤ x, ∀x ∈ S.
2. Antisim´etrica: x, y ∈ S, x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.
3. Transitiva: x, y, z ∈ S, x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Supondremos que los n´
umeros reales R est´an ordenados por una relaci´on de orden ≤ que
adem´as cumple lossiguientes axiomas:
(a10) La relaci´
on de orden es total:
∀ x, y ∈ R ⇒ x ≤ y

´o

y ≤ x.

(a11) La relaci´
on de orden es compatible con la suma:
∀ x, y, z ∈ R, x ≤ y

⇒

x + z ≤ y + z.

(a12) La relaci´
on de orden es compatible con la multiplicaci´on:
∀ x, y, z ∈ R, x ≤ y , z ≥ 0

⇒

x z ≤ y z.

Si x, y ∈ R, x ≤ y y x = y, escribiremos x < y, (“x menor que y”).
De los axiomas de orden se pueden...