Tablas de verdad

Tablas de Verdad
Ahora resumamos lo que se ha visto hasta ahora: A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahoraproposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r. El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores. Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad decada una de las componentes. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, se verán a continuación.

Tabla de verdad para ~p. p V F ~p F V

Esta tabla nos hace recordar la definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entoncesel valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero. Tabla de verdad para p v q.

p V V F F

q V F V F

pvq V V V F

En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsasolamente si cada proposición componente es falsa.

Tabla de verdad para p ^ q.

p V V F F

q V F V F

p^q V F F F

Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.

Tabla de verdad para p--> q.

p V V F F

q V F V F

p --> q V F V V

De la tabla anterior se abserva que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q

falso. Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

Tabla de verdad para p q.

p V V F F

q V F V F

p q V F F V

De la anterior tabla se puede observar que: Si p y q tienen el mismo valor de verdad,entonces p q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p q es falso.

Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de cualquier proposición por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les llama tablas de verdad deducidas Ilustremos esto con el siguiente ejemplo: Calculemos la tabla de verdad dela proposición ~p v q. Como se indica en la tabla que veremos a continuación, para construir dicha tabla, debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la definición de la disyunción para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente tabla: Tabla de verdadpara ~p v q.

p V V F F

q V F V F

~p F F V V

q V F V F

~p v q V F V V

Nota: De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores de verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. Esto nos hace recordarlos valores de la proposición condicional p q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos proposiciones.

Antes de continuar construyendo tablas de verdad mas complejas, es necesario dar una regla para la construcción de dichas tablas: Regla: Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la...