Taller 2 2016 1

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
´ ticas
Instituto de Matema
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Matematicas Basicas (303-118)
Taller # 2

1. Reescriba la expresi´on sin utilizar valor absoluto y simplifique el resultado:
√
f ) |x + 7| si x ≥ −7
c) | 5 − 5/2|
a) 3 + | − 3|
d ) |π − 4|

−3
| − 3|

e) |x + 3| si x < −3

g) |m − n| si m < n

h) | − z 2 − 1|

eA

b)

2. Resuelva la desigualdad yexprese las soluciones en t´erminos de intervalos siempre que
sea posible:
a) 3x − 2 > 12

Ud

b) −2 − 3x ≥ 2
1
c) x + 7 ≤ 13 x − 2
4
2x − 9
d) 3 ≤
<7
5
1
e) 0 ≤ 4 − x < 2
3
f ) (3x + 1)(5 − 10x) > 0
g) x2 + 4x + 3 ≥ 0

h) x2 − 2x − 7 > 1
i ) x(2x + 3) ≥ 5

j ) 8x − 15 > x2

k ) 25x2 − 16 < 0

l ) 2x3 − 3x2 − 2x + 3 ≤ 0

m) (2x − 3)(4x + 5) ≤ (8x + 1)(x − 7)
n)

x2 (x + 2)
≤0
(x + 2)(x + 1)

x2 − xn
˜) 2
≤0
x + 2x
x−2
o) 2
≥0
x − 3x − 10
p) |x + 3| = 2 − x
q)

|x+1|
|x−1|

=3

r ) |2x − 3| − 2|x| = 0
s) |5x + 2| ≤ 0

t) |2x − 5| ≤ −1

u) |2x − 1| < |x + 2|

v ) |x + 1| + |x − 1| < 6
2x + 5
<1
w)
3
2 − 3x
x)
≥2
5
2x + 5
y)
≤1
3x
2 − 3x
z)
≥2
5x − 1

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actualizaci´
on: 1 de marzo de 2016

3. Dibuje la regi´on indicada sobre el plano cartesiano:
a) {(x, y) : x < 0}

b) {(x, y) : xy <0}

c) {(x, y) : x ≥ 1 y y < 3}

4. En los problemas siguientes, halle la ecuaci´on de la recta determinada por la informaci´on que se da en cada numeral (y graf´ıquela). Siempre que sea posible escriba la
ecuaci´on obtenida en la forma y = mx + b, cuando no sea posible explique porqu´e.
a) Pasa por P ( 12 , 1) y es perpendicular a la recta dada por 8y − 7x = 16. (Dos rectas
son perpendiculares siel producto de sus pendientes es −1).
b) Es paralela a 2y − 3x = 14 y corta el eje y en −1. (Dos rectas son paralelas si las
pendientes son iguales).
c) Pasa por P ( 32 , 4) y Q(−6, −1).

d ) Pasa por el punto de intersecci´on de las rectas: y =
pendiente m = − 32 .

x
2

− 3 y y = 3x − 6. Tiene

eA

e) Corta el eje y en 1 y pasa por P (−3, 4).

f ) Pasa por el punto medio del segmento que une lospuntos: P (−1, −2) y Q(3, 5).
Tiene pendiente m = − 21 .
√
g) Pasa por los puntos P (−1, 51 ) y Q( 2, 51 ).

Ud

5. Encuentre la distancia d(A, B) entre los puntos A y B y el punto medio del segmento
AB si A = (4, −3) y B = (3/2, −6)
6. Demuestre que A(−4, 2), B(1, 4), C(3, −1) y D(−2, −3) son v´ertices de un cuadrado.
7. Demuestre que A(−4, −1), B(0, −2), C(6, 1) y D(2, 2) son v´ertices de unparalelogramo.
8. Dado A(−3, 8) encuentre las coordenadas del punto B tal que C(5, −10) sea el punto
medio del segmento AB
9. Muestre que C(3, −6) est´a sobre la mediatriz del segmento AB si A(−4, −3) y B(6, 1)
10. Si la ecuaci´on de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r viene dada
por: (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , entonces grafique:
a) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 9 b) (x + 3)2 + y 2 =16

c) x =

9 − y2

11. Completando cuadrados, encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuaci´on es: 3x2 + 3y 2 − 12x + 18y = 9.

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12. ¿Cu´al es el valor de a para el cual el radio de la circunferencia x2 + y 2 + ax + 2y + 9 = 0
es 1?
13. Determine la ecuaci´on de la circunferencia en la que uno de sus di´ametros es el segmento
deextremos P1 (−1, −3) y P2 (3, 2). (grafiquela)
14. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas.
√
a) Centro C(3/4, −2/3), radio 3 2
b) Centro C(−3, 6) y tangente al eje y

c) Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante, radio 2
15. Encuentre el centro y radio de las circunferencias dadas
a) x2 + y 2 − 4x + 6y − 36 = 0

b) x2 + y 2 + 4y − 7 = 0

eA

16.Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas.
√
a) Centro C(3/4, −2/3), radio 3 2
b) Centro C(−3, 6) y tangente al eje y

c) Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante, radio 2

Ud

17. Encuentre el centro y radio de las circunferencias dadas
a) x2 + y 2 − 4x + 6y − 36 = 0

b) x2 + y 2 + 4y − 7 = 0

18. Si a y h son n´
umeros reales, encuentre
f (a +...