Taller 9 Teorema Fund Algebra

An
tioq
uia

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
´ ticas
Instituto de Matema
´ ticas
Grupo de Semilleros de Matema
´
(Sematica)

Teorema fundamental del ´
algebra

´ticas
Matema
Operativas
Taller 9
2011 − 2

ive

rsid

ad

de

Las t´ecnicas algebraicas desarrolladas durante el siglo XVII por F. Vi`ete
y por Girolamo Cardano proporcionaron las herramientas para quelos
matem´aticos franceses Pierre de Fermat y Ren´e Descartes (figura 1) resolvieran una variedad de problemas que permanec´ıan sin resolver desde la
Grecia Cl´asica. El gran aporte de estos dos u
´ltimos pensadores fue el haber
establecido una conexi´on no aparente entre la geometr´ıa y el ´algebra, que
finalmente conducir´ıa al nacimiento de la geometr´ıa anal´ıtica.
Ren´e Descartes (Francia, 31de marzo de 1956 - Estocolmo, 11 de febrero de 1650) fue un pensador franc´es cuyas contribuciones no s´olo fueron
Figura 1
en el campo de las matem´aticas; en f´ısica es considerado el creador del
mecanicismo y en filosf´ıa proporcion´o los fundamentos del racionalismo
occidental. Su famosa obra, La G´eom´etrie (1637), establece equivalencias entre operaciones algebraicas y construccionesgeom´etricas, y est´
a basada en la idea de caracterizar una diversidad
de lugares (locus) geom´etricos como l´ıneas, circunferencias y secciones c´
onicas, en t´erminos de
cierta clase de ecuaciones algebraicas que involucraban magnitudes de segmentos de rectas.
Descartes fue el primero en estudiar de una manera sistem´
atica las propiedades algebraicas de
los polinomios, en particular la relaci´
on entrelos ceros de un polinomio y su grado, as´ı como la
factorizaci´on de polinomios como producto de factores lineales. Con el trabajo de Descartes, el
desarrollo del ´
algebra se centr´
o en el estudio de los polinomios, concretamente en la b´
usqueda
de soluciones generales de ecuaciones polin´omicas de grado cuatro en adelante. Los intentos
realizados para resolver este tipo de ecuacionescondujeron al planteamiento de una cuesti´on de
vital importancia en ´
algebra, a saber, el n´
umero de soluciones que una ecuaci´
on polin´omica de
grado n puede admitir.
La respuesta a esta imporante pregunta fue sugerida inicialmente por el m´atem´atico franc´es
Albert Girard en 1629 y est´
a dada por el teorema fundamental del ´
algebra que afirma que toda
ecuaci´
on polin´omica de grado n, concoeficientes complejos, tiene n ra´ıces complejas. Aunque
desde la antiguedad era conocido que muchas ecuaciones polin´omicas particulares satisfac´ıan
el teorema, fue s´olo hasta el siglo XVIII que el matem´atico alem´an Carl Friedrich Gauss lo
demostr´
o. Este teorema fue fundamental para establecer las bases conceptuales que permitieron
consolidar al ´
algebra como una disciplina de estudio de lasmatem´aticas.

Objetivo general

Emplear el toerema fundamental del ´algebra y sus consecuencias en la soluci´on de problemas
que involucran ecuaciones polin´omicas.

Un

Objetivos espec´ıficos

1. Identificar los ceros de una funci´
on polinomial y su multiplicidad.
2. Encontrar una funci´
on polinomial con ceros especificados.
Grupo de Semilleros de Matem´
aticas - Sem´
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2

1.

An
tioq
uia

Grupo de Semilleros de Matem´
aticas - Sem´
atica, Universidad de Antioquia

Resultados fundamentales

Los ceros de un polinomio f (x) son las soluciones de la ecuaci´
on f (x) = 0 y geom´etricamente
corresponden a las intersecciones con el eje x de la gr´afica de f .El polinomio de grado n = 1,
f (x) = ax + b tiene un cero, −b/a. El
polinomio de
grado n = 2, f (x) = ax2 + bx + c posee al
√
√
−b+ b2 −4ac
−b− b2 −4ac
menos un cero que est´
a dado por
o
. En general, para polinomios de grado
2a
2a
n tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.1 (Teorema fundamental del ´algebra). Todo polinomio de grado n ≥ 1 posee al lo
menos un cero, que puede ser real o...