Taller De Algebra Lineal

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Taller de repaso
1. Sean P (1, 1, 3), Q(3, 7, 1), R(−2, 3, 3) y S (1, 2, 8) puntos en R3 .
(a) Halle las ecuaciones vectorial y param´tricas de la recta l que cone
tiene los puntos P y Q, luego verifique si los puntos P , Q, y R
son colineales. En caso negativo, halle la distancia del punto R a la
recta l.
Sugerencia: Recuerde:
−
Si P0 es un punto sobre la recta l y → es un vectordirector de l,
v
entonces la distancia d del punto P a la recta l es
−→ −→
−
−
→
d = P0 P − P0 P −
v
−−
Si → y → son vectores entonces
v
w
→→
−−
→− = ( v • w )→
−→
−
vw
→2w
−
w
(b) Halle las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano π que contiene
los puntos P , Q y R, verifique despu´s si los puntos P , Q, R y S son
e
coplanares (est´n sobre un mismo plano). En casonegativo, halle
a
la distancia del punto S al plano π .
−
Sugerencia: Recuerde que si → = (a, b, c) es un vector normal al
n
plano π que contiene al punto P0 , entonces la distancia d del punto
P al plano π es
−
− −→
| → • P0 P |
n
d=
.
→
−
n
(c) Utilice el producto cruz para hallar el ´rea del tri´ngulo con v´rtia
a
e
ces P , Q y R.
−−
Sugerencia: Si los vectores → y → determinanun tri´ngulo, env
w
a
tonces el ´rea de dicho tri´ngulo es
a
a
A=

1
2

→×→
−−
v
w

.

(d) Encuentre el volumen del paralelep´
ıpedo cuyos lados adyacentes
est´n definidos por los puntos P , Q, R y S .
a
2. Determine dos planos cuya intersecci´n es la recta con ecuaciones pao
ram´tricas
e

2

x = 3 + 5t;

y = 2 − 3t; z = 4 + 8t.

3. Determine el punto de intersecci´nde la recta con ecuaciones param´trio
e
cas
x = −2 + 3t; y = 4 − 2t;

z = 1 − 5t

y el plano 3x − 2y + 4z − 2 = 0.
4. Verificar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial
correspondiente:
(a) H := {A ∈ R2×2 : A =

ab
−b c

}

(b) Sea V = Pn , el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n. Recordemos:
Sip(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn y q (x) = b0 + b1 x +
b2 x2 + . . . + bn xn pertenecen a Pn , entonces
p(x) + q (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + . . . + (an + bn )xn .
Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ∈ Pn y α es un escalar,
entonces
αp(x) = (αa0 ) + (αa1 )x + (αa2 )x2 + . . . + (αan )xn .
Pm donde 0 < m < n es un subespacio vectorial propio de Pn .
(c) H :={(x, y ) ∈ R2 :

x
−3

= y }.
6

5. Sean H1 y H2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V .
Muestre con un ejemplo que no siempre H1 ∪ H2 es un subespacio vectorial de V .
6. Sean los polinomios p1 (x) = −2x2 − 4 + 5x, p2 (x) = 2 − 4x,
p3 (x) = 3x + 2x2 y p4 (x) = 2x2 + x + 1 en P3 .
(a) Diga si p1 , p2 , p3 y p4 son L.d. o L.i.
(b) Sea H =< p1 , p2 , p3 , p4 >⊆ P3 .Verifique si el polinomio
−8 + 31x + 10x2 ∈ H .
(c) Calcule dimR H .

p(x) =

3

Sugerencia: Dada la relaci´n entre Pn , el conjunto de todos los polio
nomios de grado a lo m´s n, y Rn+1 , es equivalente ver un polinomio
a
p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+an xn como la n+1−tupla (a0 , a1 , a2 , . . . , an ),
ejemplo,
p(x) = 1 + 2x + 5x3 ∈ P4 ↔ (1, 2, 0, 5, 0) ∈ R5 .
7. Sean π1 el plano conecuaci´n cartesiana 4z − 2y − 2x = 0 y π2 el plano
o
que pasa por el punto (0, −4, 2) y contiene a la recta
(x, y, z ) = (2, −1, 2) + t(2, 1, 1).
Determine una base para el conjunto de puntos en la intersecci´n de los
o
planos π1 y π2 .
8. Sean 2x − y − z = 0 y x + 2y + 3z = 0 las ecuaciones cartesianas
de los planos π1 y π2 respectivamente. Halle la dimensi´n del conjunto
o
intersecci´n de´stos dos planos.
o
e
9. Sea el conjunto W = {(1, 2, 1)} ⊂ R3 . Extienda el conjunto W a una
base del espacio vectorial R3 .
10. Tenemos que el conjunto de vectores W = {(1, 2, 0), (0, 1, −1), (1, 1, 2), (2, 4, 1)}
generan al espacio vectorial R3 . Lleve ´ste conjunto a una base de dicho
e
espacio.
11. Dado el conjunto de vectores {(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} en R3 . Demuestre...